matemáticas ii extremadura curso 2024-2025
Curso 2024-2025 - Modelo de Examen
TIEMPO MÁXIMO: \( 1 \, \text{h} \, 30 \, \text{min} \)
INSTRUCCIONES: El estudiante deberá resolver cuatro ejercicios de los propuestos en este examen. Este examen consta de 4 apartados. Los apartados 1, 2 y 3 contienen dos ejercicios optativos cada uno (A o B), de los cuales se debe resolver solo uno por apartado. El apartado 4 contiene un único ejercicio obligatorio. Si se resuelve más de un ejercicio por apartado en los apartados 1, 2 o 3, se corregirá el primero que aparezca en la presentación. Todos los resultados analíticos, numéricos y gráficos deben estar debidamente justificados, mostrando todos los pasos del razonamiento utilizado.
APARTADO 1 (Bloque A, ÁLGEBRA) [2,5 PUNTOS]
EJERCICIO 1A
Dado el sistema de ecuaciones:
\[ \begin{cases} x + my + z = 5 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ mx + y - z = m + 1 \end{cases} \]
Se pide:
a) [1 punto] Discute según los valores del parámetro \( m \) el número de soluciones del sistema.
b) [1 punto] Resuelve el sistema para el valor de \( m \) que haga el sistema compatible indeterminado.
c) [0,5 puntos] Para \( m = 2 \), resuelve el sistema.
EJERCICIO 1B
Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m \\ 0 & m & 1 \\ 2 & 1 & m \end{pmatrix} \), se pide:
a) [1 punto] Halla los valores de \( m \) para los que la matriz \( A \) tiene inversa.
b) [0,75 puntos] Para \( m = 1 \), calcula la inversa de \( A \).
c) [0,75 puntos] Resuelve el sistema \( AX = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \) para \( m = 1 \).
Nota: Resolver solo uno de los dos ejercicios (1A o 1B).
APARTADO 2 (Bloque B, ANÁLISIS) [2,5 PUNTOS]
EJERCICIO 2A
Dada la función \( f(x) = 2x e^{-x} \), definida para todo \( x \) real, se pide:
a) [1 punto] Estudia la monotonía y calcula los extremos relativos de la función.
b) [0,75 puntos] Determina las asíntotas de la función, si las hay.
c) [0,75 puntos] Calcula \( \int_{0}^{2} f(x) \, dx \).
EJERCICIO 2B
Dadas las funciones \( f(x) = 2x + 6 \) y \( g(x) = x^2 - 3x \), se pide:
a) [1,25 puntos] Calcula \( \int \frac{f(x)}{g(x)} \, dx \).
b) [1,25 puntos] Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones \( f(x) \) y \( g(x) \).
Nota: Resolver solo uno de los dos ejercicios (2A o 2B).
APARTADO 3 (Bloque C, SENTIDO ESPACIAL) [2,5 PUNTOS]
EJERCICIO 3A
Sea el punto \( P(1, 0, -2) \) y la recta \( r: \frac{x - 5}{2} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 3}{-3} \), se pide:
a) [1 punto] La ecuación continua de la recta \( s \) que pasa por \( P \) y que corta a \( r \) perpendicularmente.
b) [0,75 puntos] La ecuación del plano que contiene a las dos rectas \( r \) y \( s \).
c) [0,75 puntos] La distancia del punto \( P \) a la recta \( r \).
EJERCICIO 3B
Sean \( P(-1, 2, 3) \), \( Q(-2, 1, 0) \) y \( R(0, 5, 1) \) los vértices de un triángulo, se pide:
a) [1,5 puntos] Calcula el área y el perímetro de dicho triángulo.
b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano que contiene a los puntos \( P \), \( Q \) y \( R \).
Nota: Resolver solo uno de los dos ejercicios (3A o 3B).
APARTADO 4 (Bloque E, SENTIDO ESTOCÁSTICO) [2,5 PUNTOS]
EJERCICIO 4 (Obligatorio)
Una persona tiene que ser operada de la rodilla y para ello ha sido incluida en la lista de espera. Según los últimos datos publicados por el Servicio Extremeño de Salud (SES), el tiempo medio de espera en Extremadura para ser operado por el servicio de Traumatología es de 242 días. Sabiendo que dicho tiempo medio se distribuye normalmente con una desviación típica de 10 días, se pide:
a) [0,75 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que esa persona sea intervenida antes de 200 días?
b) [0,75 puntos] Por otra parte, se está estudiando la posibilidad de que un paciente sea intervenido en la sanidad privada siempre que no haya podido ser atendido antes de los 260 días. De ser así, ¿qué probabilidad hay de que sea atendida en la sanidad privada?
c) [1 punto] Si finalmente el \( 70\% \) de los pacientes en lista de espera fueron atendidos antes que esta persona, ¿cuántos días estuvo en lista de espera la persona en cuestión?