EJERCICIO 1. Álgebra. Dadas las matrices

\[ A = \begin{pmatrix} m & 4 & 4 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \]

a) Determine para qué valores de \(m\) existe la matriz inversa de \(A\).

b) Despeje la matriz \(X\) tal que \(X - A + B = C\) y calcúlela para \(m = 1\).

EJERCICIO 2. Álgebra. Consideramos el siguiente sistema de inecuaciones:

\[ y \leq x + 2, \quad x + y \leq 6, \quad x \leq 5, \quad y \geq 0 \]

a) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.

b) Determine el punto o puntos de esa región en donde la función \(f(x, y) = x - y\) alcanza sus valores máximo y mínimo.

c) Determine esos valores máximo y mínimo.

EJERCICIO 3. Análisis. La cantidad de CO2 (en millones de toneladas) emitidas a la atmósfera por una determinada región a lo largo del año 2020, viene dada por la función

\[ C(t) = \begin{cases} 5 - t, & 0 \leq t < 6 \\ \frac{1}{2}t^2 - 4t + 18, & 6 \leq t \leq 12 \end{cases} \]

donde \(t\) es el tiempo transcurrido en meses desde comienzo del año.

a) Estudie en qué períodos se ha producido un aumento/disminución de la cantidad de CO2 emitida a la atmósfera.

b) ¿Cuáles son las cantidades máxima y mínima de CO2 emitidas a la atmósfera a lo largo del año 2020? ¿En qué momentos se produjeron?

c) Represente la gráfica de la función \(C(t)\) teniendo en cuenta el estudio realizado en los apartados anteriores.

EJERCICIO 4. Análisis. Un fabricante de automóviles hace un estudio sobre los beneficios, en miles de euros, a lo largo de los diez últimos años, y comprueba que éstos se ajustan a la función

\[ B(t) = t^3 - 18t^2 + 81t - 3, \quad 0 \leq t \leq 10 \quad (t \text{ en años}) \]

a) ¿Qué beneficios obtuvo la empresa el último año del estudio?

b) Determine los periodos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios.

c) ¿En qué años se producen los beneficios máximos y mínimos y a cuánto ascienden?

d) Calcule \(\int_{1}^{2} B(t) \, dt\).

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad. En una población el 45% son hombres. El 27% de esa población resulta ser hombre y lector de prensa deportiva, mientras que un 38.5% es mujer y no lectora de esa prensa.

a) De las mujeres, ¿qué porcentaje lee prensa deportiva?

b) ¿Qué porcentaje es mujer o lee prensa deportiva?

c) De los lectores de prensa deportiva, ¿qué porcentaje son hombres?

d) ¿Son incompatibles los sucesos ser hombre y no leer prensa deportiva? Justifique la respuesta.

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad. Una compañía de seguros quiere determinar qué proporción de sus clientes estaría dispuesta a aceptar una subida de tarifas a cambio de un incremento en sus prestaciones. Una encuesta previa indica que esta proporción está en torno al 15%.

a) ¿De qué tamaño mínimo debería ser la muestra si se quiere estimar dicha proporción con un error inferior a 0.08 y un nivel de confianza del 95%?

Finalmente, se realiza el estudio con una muestra de 196 clientes, de los que 37 manifestaron su conformidad con la propuesta.

b) Calcule un intervalo de confianza, al 92%, para la proporción de clientes de la compañía que aceptaría la dicha propuesta. ¿Cuál es el error máximo cometido?

EJERCICIO 1. Álgebra. Considere la ecuación matricial \(X \cdot A + B = A \cdot B^t\), donde \(B^t\) denota la matriz traspuesta de \(B\), siendo \(A\) y \(B\) las matrices siguientes:

\[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & -2 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \]

a) Calcule, si es posible, la inversa de la matriz \(A\) y el rango de la matriz \(B\).

b) Despeje la matriz \(X\) en la ecuación matricial y, a continuación, calcule su valor.

EJERCICIO 2. Álgebra. Considere el sistema de inecuaciones dado por:

\[ x + 2y \leq 40, \quad x + y \geq 5, \quad 3x + y \leq 45, \quad x \geq 0 \]

a) Represente gráficamente la región factible determinada por el sistema de inecuaciones anterior y calcule sus vértices.

b) Calcule el punto o puntos de esa región donde la función \(f(x, y) = 2x - 3y\) alcanza su valor máximo y su valor mínimo.

EJERCICIO 3. Análisis. El número de vehículos vendidos por un concesionario a lo largo del último año se estima que viene dado por la función

\[ N(t) = \begin{cases} 28 - (t - 4)^2, & 0 \leq t < 6 \\ (t - 10)^2 + 8, & 6 \leq t \leq 12 \end{cases} \]

donde \(t\) es el tiempo transcurrido en meses.

a) Determine los períodos de crecimiento y decrecimiento del número de vehículos vendidos. ¿Cuál ha sido el mayor número de vehículos vendidos? ¿Y el menor? ¿En qué momentos se han producido? Justifique sus respuestas.

b) Con la información del apartado anterior, represente la gráfica de la función.

c) ¿Hubo algún período del año en el que el número de vehículos vendidos haya sido inferior a 12 unidades? Justifique su respuesta.

EJERCICIO 4. Análisis. Considérese la siguiente función:

\[ f(x) = ax^3 - 2x^2 + bx + c \]

donde \(a\), \(b\), \(c\) son números reales.

a) Calcular \(a\), \(b\), \(c\) sabiendo que la función \(f(x)\) pasa por \((2, 8)\) y que tiene un extremo relativo en \((0, 16)\).

b) Para \(a = b = 0\) y \(c = 16\), calcule el área de la región limitada por la función \(f(x)\) y la recta \(y = 8\).

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad. Se estima que en una población el 20% padece obesidad y que el 11% padece obesidad y son hipertensos. Además, el 27,5% de los hipertensos padecen obesidad.

a) ¿Qué porcentaje de la población padece obesidad o es hipertenso?

b) ¿Son independientes los sucesos “padecer obesidad” y “ser hipertensos”?

c) Calcule la probabilidad de que un individuo que no padece obesidad sea hipertenso.

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad. Puede suponerse que el tiempo de formación, en horas, que necesita un empleado de una empresa para poder trabajar en una nueva planta sigue una distribución normal con desviación típica igual a 15.

a) Si en una muestra de 25 empleados, el tiempo medio necesario fue de 97 horas, calcule un intervalo de confianza con un 95% de confianza para la media del tiempo de formación precisado.

b) Si la media del tiempo de formación precisado es \(\mu = 97\) horas, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio precisado de muestras de 36 trabajadores se encuentre entre 90 y 104 horas?