En una joyería hay 120 piezas de El Señor de los Anillos entre Anillos Únicos, Broches Hoja y Colgantes de Arwen. Sabemos que hay 20 Anillos menos que la suma de los Broches y los Colgantes. También sabemos que los Anillos y los Colgantes suman lo mismo que el número de Broches multiplicado por un número indeterminado (\( t \in \mathbb{R} \)).

a) [1,75 puntos] Plantea el sistema de ecuaciones que permite resolver el problema y estudia las soluciones dependiendo de los valores de \( t \).

b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para \( t = 4 \), si es posible.

Una empresa desea construir un aparcamiento para sus empleados y necesita vallarlo de manera que la región resultante sea un rectángulo más un semicírculo, tal y como se ve en la figura adjunta. El rectángulo tiene de lados \( h, r \in \mathbb{R} \), de manera que el radio del semicírculo es \( h / 2 \). La empresa tiene solamente presupuesto para comprar una valla de 80 metros de longitud, que ha de ser el perímetro del aparcamiento. La empresa desea construir un aparcamiento con el mayor área posible con ese perímetro de 80 metros.

a) [1 punto] Escribe el área del aparcamiento en función del valor \( h \).

b) [1,5 puntos] ¿Cuánto deben valer \( h \) y \( r \) para que el área del aparcamiento sea lo mayor posible?

Para transportar a su mascota, Frank ha fabricado una caja, según se puede ver en la figura de la derecha. La parte de arriba de la caja viene definida por los puntos \( E(3, 0, 2) \), \( F(0, 0, 4) \), \( G(3, a, b) \) y \( H(0, 6, 4) \), con \( a, b \in \mathbb{R} \).

a) [1,5 puntos] ¿Qué deben cumplir los valores \( a \) y \( b \) para que la parte de arriba de la caja forme un plano?

b) [1 punto] Suponiendo que la parte de arriba de la caja es un plano, determina los valores de \( a, b \in \mathbb{R} \) para los que los lados \( EG \) y \( GH \) formen un ángulo de \( 90^\circ \) y \( E \) y \( G \) sean distintos.

a) [1 punto] Sea la función:

\[ r(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x < 1 \\ e^{x - a} & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \]

con \( a \in \mathbb{R} \). Estudia la continuidad de \( r(x) \) e indica de qué tipo son sus discontinuidades (si las hubiera) para los distintos valores del parámetro \( a \).

b) [1,5 puntos] Sean los planos \( \pi_1 \equiv -x + y + 2z = 1 \), \( \pi_2 \equiv 2y + z = -1 \). Determina la ecuación del plano perpendicular a los planos \( \pi_1 \) y \( \pi_2 \) y que pasa por el punto \( A(0, 1, 1) \).

a) En el primer curso de un grado en ingeniería industrial los alumnos deben cursar una asignatura de estadística y otra de física. Se sabe que la probabilidad de que un alumno apruebe estadística es del 60% mientras que la probabilidad de que apruebe física es del 50%. Además, se sabe que la probabilidad de que aprueben las dos es del 40%.

a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe estadística o física?

a.2) [0,75 puntos] Si un alumno ha aprobado física, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado estadística?

b) En el huerto urbano "Turdus merula" producen compost para abonar los cultivos. Han observado que la cantidad de compost que se produce cada temporada sigue una distribución normal de media 40 kg y varianza 4 kg².

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que en una temporada se produzcan más de 43 kg de compost?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la cantidad exacta de compost que es menor que el 79.95% más grande de las cantidades de compost producidas en otras temporadas?

a) [1 punto] Calcula la siguiente integral:

\[ \int \frac{dx}{(1 - 3x)^{1/2} - (1 - 3x)^{2/3}} \]

Puedes utilizar el cambio de variable \( 1 - 3x = t^6 \).

b) [1,5 puntos] Sean las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \). Sin calcular \( A^{-1} \), razona por qué \( A^{-1} \) existe y discute si la matriz \( A^{-1} \cdot B \) tiene inversa.

a) [1 punto] Resuelve la siguiente integral:

\[ \int (x + 3) e^{-2x} \, dx \]

b) En un juego de azar cada "Chernida" es el número de unos obtenidos durante las tiradas.

b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de no obtener ningún uno? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de uno? ¿Y la de obtener una puntuación de tres?

b.2) [0,75 puntos] ¿Podrías dar la probabilidad de obtener una puntuación de \( n \in \mathbb{N} \)?

Nota: El enunciado parece incompleto (falta el número de tiradas o los dados). Se asume un contexto típico de probabilidad binomial, pero no se especifica.

a) [1,25 puntos] Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 2 & a & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \). Determina para qué valores de \( a \in \mathbb{R} \) la matriz \( A \) es invertible.

b) [1,25 puntos] Sean los planos \( \pi_1 \equiv a \cdot x + y + 2z = 1 \), \( \pi_2 \equiv b \cdot y + z = -1 \), con \( a, b \in \mathbb{R} \). ¿Qué condición deben cumplir \( a, b \) para que los planos no sean perpendiculares?

Tres lápices, un cuaderno y una agenda han costado 5 euros, lo mismo que dos cuadernos y una agenda.

a) [1,25 puntos] Plantea el sistema de ecuaciones que permita determinar cuánto vale un lápiz, un cuaderno y una agenda.

b) [1,25 puntos] ¿Podemos saber el precio de cada artículo si ninguno es gratis y en céntimos todos son múltiplos de 50? En caso de que se pueda, obtén los precios correspondientes. En caso de que no se pueda, justifica por qué no.

Una carpintera debe diseñar una caja con forma de prisma de altura \( h \) y cuya base sea un triángulo rectángulo de base \( 3r \) y altura \( 4r \), tal y como se puede ver en la figura adjunta. Además, la carpintera debe asegurarse de que el área de la superficie sea de 36 cm\(^2\) y su volumen lo mayor posible.

a) [1 punto] Escribe el volumen de la caja en función del valor \( r \).

b) [1,5 puntos] ¿Cuánto deben valer \( h \) y \( r \) para que el volumen de la caja sea lo mayor posible?

Un arquitecto desea diseñar un edificio con la forma de paralelepípedo que se ve en la figura de abajo. Sean los vectores \( \overrightarrow{BA} = (a, b, 0) \), \( \overrightarrow{BC} = (0, 80, 0) \) y \( \overrightarrow{BF} = (0, 10, c) \), con \( a, b, c \in \mathbb{R} \). Todos los valores están en metros.

a) [1 punto] Según el diseño de la figura anterior, el vector \( \overrightarrow{BA} \) ha de ser perpendicular a los vectores \( \overrightarrow{BC} \) y \( \overrightarrow{BF} \). ¿Qué deben cumplir los valores \( a, b, c \) para que esto ocurra?

b) [1,5 puntos] Teniendo en cuenta las condiciones del apartado anterior, calcula los valores de \( a, b, c \) para que la longitud de \( A \) a \( B \) sea de 40 metros y el volumen del edificio sea de 3200 metros cúbicos.

a) Una fábrica posee dos robots (A y B) para soldar piezas en la línea de producción. El robot A procesa el 60% de las piezas mientras que el robot B procesa el 40% restante. El 10% de las piezas procesadas por el robot A presenta algún defecto de soldadura mientras que el 5% de las piezas procesadas por el robot B presenta algún defecto.

a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza producida en esa línea de producción presente un defecto de soldadura?

a.2) [0,75 puntos] Si una pieza se ha producido sin defectos, ¿cuál es la probabilidad de que la haya procesado el robot A?

b) En un examen de oposición solamente el 30% de los candidatos aprueba. Un tribunal evalúa a 6 opositores.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente tres opositores no aprueben?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un opositor apruebe?

a) [1 punto] Hallar el volumen de un cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje \( OX \) el recinto acotado por la gráfica de la función \( f(x) = 3x \) entre las abscisas \( x = 0 \) y \( x = 2 \).

b) [1,5 puntos] El grafo siguiente muestra las conexiones por carretera entre las poblaciones A, B y C. Halla la matriz \( G \) asociada al grafo y calcula \( G + G^2 \). ¿Cuántas formas posibles existen para ir de \( A \) a \( C \) haciendo como máximo una escala (es decir, recorriendo un camino de dos aristas o menos)?

Nota: Falta la figura del grafo en el documento original.

a) [1 punto] Calcula el área de la región delimitada por las funciones \( f(x) = 6x - 4 \) y \( g(x) = x^2 + 4 \).

b) [1,5 puntos] Sean el punto \( A(2, 1, 1) \) y la recta \( r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z + 3}{2} \). Calcula la distancia del punto \( A \) a la recta \( r \).

a) [1 punto] Las ganancias (en millones de euros) de una empresa durante el primer año vienen dadas por la función \( f(t) = 4 - f(1 - t) e^t \), donde \( t \in [0, 1] \) representa el tiempo en años. Sin calcularlo directamente, justifica que existe un extremo relativo en el periodo de tiempo \( [0, 1] \). ¿Se trata de una ganancia máxima o mínima? ¿Por qué?

Nota: El enunciado original contiene un error tipográfico ("4 - f(1 - t) e^t"), ya que \( f \) se define en términos de sí misma. Se asume que debería ser \( f(t) = 4 - (1 - t) e^t \) o similar.

b) En un concesionario de coches se sabe que la probabilidad de que un coche sea diésel es de 0.20 mientras que la de que sea de color rojo es de 0.10. Ambos sucesos son independientes.

b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un coche sea diésel y de un color distinto al rojo?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un coche sea diésel o rojo?

a) [1,25 puntos] Calcula las matrices \( A \) y \( B \) que cumplen que \( A + 2B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4 & 1 \end{pmatrix} \) y \( 2A - B = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 7 & -8 \end{pmatrix} \).

b) [1,25 puntos] Determina el valor de \( a \in \mathbb{R} \) para que los vectores \( \vec{u} = (a, 1, 0) \) y \( \vec{v} = (a, 0, 0) \) formen un ángulo de \( 45^\circ \). Supón también que \( a \neq 0 \).

Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde \( a \in \mathbb{R} \):

\[ \left\{ \begin{array}{l} a x + 2 y + z = 1 \\ 2 x + a y + z = a \\ 5 x + 2 y + z = 1 \end{array} \right. \]

a) [1,5 puntos] Discute el sistema de ecuaciones según los valores de \( a \), e identifica el número de soluciones en cada caso.

b) [1 punto] Resuelve, razonadamente, el sistema de ecuaciones para \( a = 1 \).

Con el objetivo de reducir el coste, una cooperativa de aceite quiere diseñar unos envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de \( 1 \, \mathrm{dm}^3 \) (tal como se muestra en la figura adjunta) pero que tengan la mínima superficie.

a) [1 punto] Determina la función de la superficie del envase en función de \( x \) (incluidas las dos bases).

b) [1 punto] Calcula, razonadamente, los valores de \( x \) e \( y \), para que la superficie sea mínima.

c) [0,5 puntos] Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, determina la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material tiene un precio de 5 euros el \( \mathrm{dm}^2 \).

Carla está diseñando el tejado de una casa con Geogebra. Para ello, debe unir una viga que tiene de extremos los puntos de coordenadas \( A(2, -1, 3) \) y \( B(-2, 4, 5) \).

a) [1 punto] Determina la ecuación de la recta que representa la viga.

b) [0,5 puntos] ¿Cuál es la longitud de la viga?

c) [1 punto] Si se quiere colocar una placa metálica triangular de vértices los puntos \( A \), \( B \) y \( C(0, 0, 1) \). Determina el área de la placa triangular.

a) [1 punto] Calcula el siguiente límite:

\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{x^2 + 3} \]

b) [1,5 puntos] Estudia el rango de la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ a & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) en función de los valores de \( a \in \mathbb{R} \).

a) [1 punto] Calcula la siguiente integral:

\[ \int x \sqrt{2x + 3} \, dx \]

Puedes utilizar el cambio de variable \( t = \sqrt{2x + 3} \).

b) [1,5 puntos] Sean los vectores \( \vec{u} = (1, a, a) \) y \( \vec{v} = (-1, 0, 2) \), con \( a \in \mathbb{R} \). Determina el valor de \( a \) para que el ángulo entre los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) sea de \( 60^\circ \).

a) [1 punto] Calcula los coeficientes \( a, b, c \in \mathbb{R} \) de la función \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \) tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa \( x = 2 \) y un punto de inflexión en \( P(1, 2) \). Justifica tu respuesta.

b) Sean dos sucesos \( A \) y \( B \) tales que \( P(A) = 0,2 \); \( P(A \cap B) = 0,1 \) y \( P(A \cup B) = 0,3 \). Calcula:

b.1) [0,75 puntos] \( P(B) \) y \( P(A \cap \overline{B}) \), con \( \overline{B} \) el suceso complementario de \( B \).

b.2) [0,75 puntos] \( P(A \mid B) \) y \( P(B \mid A) \).

a) [1,25 puntos] Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), con \( a \in \mathbb{R} \). ¿Existe algún valor de \( a \) para el que la matriz \( A \) y su inversa sean iguales? Si es así, indica cuáles. Justifica tu respuesta.

b) [1,25 puntos] Calcula la ecuación de la recta que contiene al punto \( A(1, 0, 0) \) y que es perpendicular a los vectores \( \vec{u} = (1, 2, 1) \) y \( \vec{v} = (1, 0, 0) \).

a) En un club se juegan tres deportes. Cada socio solo puede apuntarse a un único deporte. El 60% juega al tenis, el 25% practica natación y el resto, golf. En los campeonatos locales, han obtenido algún premio el 21% de los socios que juegan al tenis, el 30% de los que practican natación y el 12% de los que practican el golf.

a.1) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que uno de los socios, seleccionado al azar, haya obtenido algún premio.

a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que un socio ha obtenido algún premio en los campeonatos locales, calcula la probabilidad de que practique natación.

b) El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 5 km sigue una distribución normal de media 60 minutos y una desviación típica de 8 minutos.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 50 minutos?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta entre 50 y 66 minutos?