[2,5 puntos] Los resultados publicados en diciembre de 2019 sobre la aplicación de la vacuna M72 en Sudáfrica, Kenia y Zambia revelaron que la probabilidad de quedar protegido contra la tuberculosis pulmonar activa es de 0,54. Se aplica la vacuna a un grupo de 3289 adultos.

a) Determina la distribución correspondiente al número de adultos que quedan protegidos, y calcula sus parámetros.

b) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en 1800 adultos.

c) Calcula la probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en menos de 1700 adultos.

d) ¿La probabilidad de que la vacuna haya sido efectiva en entre 1750 y 1850 adultos puede ser 0,0037? Razonar tu respuesta.

[2,5 puntos] Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro \( \alpha \):

\[ \begin{cases} \alpha x + 4y + z = 3, \\ \alpha x - 5y + 2z = -2, \\ 2x - y + 3z = 1. \end{cases} \]

Resuelve el sistema, si es posible, cuando \( \alpha = 0 \) y \( \alpha = 1 \).

[2,5 puntos] Calcula el rango de la matriz \( A \) dependiendo de los valores del parámetro \( m \):

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 \\ m & -2 & m & 2 \\ m & -2 & m - 2 \end{pmatrix}. \]

[2,5 puntos] Se consideran las siguientes rectas:

\[ r = \begin{cases} x = 2\lambda, \\ y = -1 + 4\lambda, \\ z = 2 - \lambda, \end{cases} \quad s = \begin{cases} 2x - y = 1, \\ z = 3. \end{cases} \]

a) Calcula la posición relativa de las rectas \( r \) y \( s \).

b) Encuentra la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.

c) Dado el punto \( P(-8, -8, 0) \), calcula el punto \( Q \) de la recta \( r \) de modo que el vector \( \overrightarrow{PQ} \) sea perpendicular a la recta \( r \).

[2,5 puntos] Se consideran la recta y el plano siguientes:

\[ r \equiv \begin{cases} 2x - y + z = 0 \\ x - y + 4z = 1 \end{cases}, \quad \pi \equiv 2x - 3y + Az = 10 \]

a) Calcula el valor del parámetro \( A \) para que la recta \( r \) y el plano \( \pi \) sean paralelos.

b) Si \( A = 21 \), calcula la intersección del plano \( \pi \) y la recta \( r \).

c) Si \( A = 1 \), calcula el punto simétrico del origen de coordenadas respecto del plano \( \pi \).

[2,5 puntos] Sea \( f(x) = x^3 + Ax^2 + Bx + C \). Las rectas tangentes a la gráfica de la función \( f \) en los puntos de abscisa \( x = -1 \) y \( x = 2 \) son paralelas. Además, \( f \) tiene un extremo relativo cuando \( x = 1 \) y \( f(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \).

a) Encuentra los valores de los parámetros \( A \), \( B \) y \( C \).

b) Encuentra la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -1 \) para los valores de los parámetros \( A = -3 \), \( B = 0 \) y \( C = 4 \).

[2,5 puntos] Sea \( f(x) = 2x e^{-2x^2} \).

a) Encuentra los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \).

b) Encuentra los extremos relativos de \( f \) y razona si son máximos o mínimos.

c) Calcula las asíntotas de \( f \).

[2,5 puntos] Calcula las dos integrales siguientes:

\[ \int \frac{2 - 3x + x^3}{x^2 + 2x + 1} \, dx, \quad \int \frac{2 - 3x}{x^2 + 2x + 1} \, dx \]

[2,5 puntos] Se consideran las curvas de ecuaciones \( y = x^2 \) e \( y = \frac{x^2}{3} \) y la recta de ecuación \( y = x \).

a) Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas y calcula el área de ese recinto.