Con el objetivo de reducir el coste, una cooperativa de aceite quiere diseñar unos envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de \( 1 \, \mathrm{dm}^3 \) pero que tengan la mínima superficie.

a) [1 punto] Determina la función de la superficie del envase en función del lado de la base, \( x \) (incluidas las dos bases).

b) [1 punto] Calcula, razonadamente, los valores del lado de la base y de la altura del prisma, \( x \) e \( y \) respectivamente, para que la superficie sea mínima.

c) [0,5 puntos] Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, determina la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material tiene un precio de 5 euros el \( \mathrm{dm}^2 \).

Apartado a)

Carla está diseñando el tejado de una casa con Geogebra. Para ello, debe unir una viga que tiene de extremos los puntos de coordenadas \( A(2, -1, 3) \) y \( B(-2, 4, 5) \).

a.1) [1 punto] Determina la ecuación de la recta que representa la viga.

a.2) [0,5 puntos] ¿Cuál es la longitud de la viga?

a.3) [1 punto] Si se quiere colocar una placa metálica triangular de vértices los puntos \( A \), \( B \) y \( C(0, 0, 1) \). Determina el área de la placa triangular.

Apartado b)

Resuelve los problemas siguientes:

b.1) [1,25 puntos] Sean los vectores \( \vec{u} = (1, a, a) \) y \( \vec{v} = (-1, 0, 2) \), con \( a \in \mathbb{R} \). Determina el valor de \( a \) para que el ángulo entre los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) sea de \( 60^\circ \).

b.2) [1,25 puntos] Calcula la ecuación de la recta que contiene al punto \( A(1, 0, 0) \) y que es perpendicular a los vectores \( \vec{u} = (1, 2, 1) \) y \( \vec{v} = (1, 0, 0) \).

Apartado a)

Considera el siguiente sistema de ecuaciones, donde \( a \in \mathbb{R} \):

\[ \left\{ \begin{array}{l} a x + 2 y + z = 1 \\ 2 x + a y + z = a \\ 5 x + 2 y + z = 1 \end{array} \right. \]

a.1) [1,5 puntos] Discute el sistema de ecuaciones según los valores de \( a \), e identifica el número de soluciones en cada caso.

a.2) [1 punto] Resuelve, razonadamente, el sistema de ecuaciones para \( a = 1 \).

Apartado b)

Resuelve los problemas siguientes:

b.1) [1,25 puntos] Estudia el rango de la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ a & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) en función de los valores de \( a \in \mathbb{R} \).

b.2) [1,25 puntos] Sea la matriz \( A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), con \( a \in \mathbb{R} \). ¿Existe algún valor de \( a \) para el que la matriz \( A \) y su inversa sean iguales? Si es así, indica cuáles. Justifica tu respuesta.

Apartado a)

a.1) Sean dos sucesos \( A \) y \( B \) tales que \( P(A) = 0,2 \); \( P(A \cap B) = 0,1 \) y \( P(A \cup B) = 0,3 \). Calcula:

- [0,5 puntos] \( P(B) \) y \( P(A \cap \overline{B}) \), con \( \overline{B} \) el suceso complementario de \( B \).

- [0,5 puntos] \( P(A \mid B) \) y \( P(B \mid A) \).

a.2) En un mazo hay 40 cartas. De estas, 4 están marcadas solo con un punto verde, 5 solo con un punto rojo y 7 están marcadas con los dos puntos (verde y rojo).

- [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos cartas sin reemplazamiento y que ambas tengan un punto verde?

- [0,75 puntos] Si saco una carta y tiene un punto verde, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también un punto rojo?

En ambos apartados se considera que una carta tiene un punto verde si tiene solo un punto verde o también si tiene un punto verde y otro rojo.

Apartado b)

b.1) En un club se juegan tres deportes. Cada socio solo puede apuntarse a un único deporte. El 60% juega al tenis, el 25% practica natación y el resto, golf. En los campeonatos locales, han obtenido algún premio el 21% de los socios que juegan al tenis, el 30% de los que practican natación y el 12% de los que practican el golf.

- [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que uno de los socios, seleccionado al azar, haya obtenido algún premio.

- [0,75 puntos] Sabiendo que un socio ha obtenido algún premio en los campeonatos locales, calcula la probabilidad de que practique natación.

b.2) El tiempo que una persona sana invierte en recorrer 5 km sigue una distribución normal de media 60 minutos y una desviación típica de 8 minutos.

- [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta menos de 50 minutos?

- [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sana invierta entre 50 y 66 minutos?