1. (2 puntos)

Dada la siguiente función

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{e^{2x} - 1}{x} & \text{si } x \neq 0 \\ a & \text{si } x = 0 \end{cases}, \quad a \in \mathbb{R} \]

a) (1 punto) Estudia su continuidad en \( \mathbb{R} \) según los valores de \( a \).

b) (1 punto) Para el valor de \( a = 1 \), calcula los puntos de corte de la recta tangente a la curva en \( x = 1 \), con los ejes \( OX \) y \( OY \).

2. (2 puntos)

Calcula justificadamente el siguiente límite

\[ \lim_{x \to +\infty} \left[ \sqrt{x^2 + 5} - (x + 2) \right] \]

3. (2 puntos)

a) (1,2 puntos) Calcula \( a, b \) y \( c \in \mathbb{R} \) tales que la función

\[ f(x) = a x + b \operatorname{sen}(x) \cos(x) + c \]

sea una primitiva de \( g(x) = \operatorname{sen}^2(x) \). (Nota: recuerda que \( \operatorname{sen}^2(x) + \cos^2(x) = 1 \, \forall x \in \mathbb{R} \).)

b) (0,8 puntos) Sabiendo que \( \operatorname{sen}(2x) = 2 \operatorname{sen}(x) \cos(x) \), demuestra que

\[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \operatorname{sen}^2(x) \]

4. (2 puntos)

Demuestra que, entre todos los rectángulos de perímetro \( P \, \text{cm} \), el de mayor área es el cuadrado.

5. (2 puntos)

Dadas las siguientes matrices:

\[ A = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = A^T \cdot B + I_2 \]

donde \( A^T \) es la matriz traspuesta de \( A \), e \( I_2 \) es la matriz identidad de orden 2.

a) (0,8 puntos) Calcula \( C^{2n} \), con \( n \in \mathbb{N} \).

b) (1,2 puntos) Resuelve la ecuación \( C \cdot X = 5 (A^T \cdot B) \).

6. (2 puntos)

Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ -4 & 6 & m-6 \\ 2 & -3 & m+6 \end{pmatrix} \), con \( m \in \mathbb{R} \) un parámetro.

a) (1,2 puntos) Estudia el rango de la matriz \( A \) en función del parámetro \( m \in \mathbb{R} \).

b) (0,8 puntos) Resuelve, si es posible, el sistema homogéneo \( A \cdot X = 0 \) cuando \( m = 6 \).

7. (2 puntos)

Analizamos en un comercio los precios de tres artículos A, B y C. El producto A, es de primera necesidad y tiene un tipo superreducido de IVA del 4%; el producto B es de alimentación y tiene un tipo reducido de IVA del 10% y el artículo C es un pequeño electrodoméstico cuyo tipo de IVA es del 21%. El precio total sin IVA de la compra de 1 artículo A de primera necesidad, 2 productos B de alimentación y 5 pequeños electrodomésticos C es de 483 €. Mientras que el total de IVA correspondiente a la compra de 100 artículos de primera necesidad A, 10 productos de alimentación B y 100 pequeños electrodomésticos C, es de 1954 €. Además, se sabe que el precio sin IVA del pequeño electrodoméstico es igual al precio sin IVA de cuatro artículos de primera necesidad más ocho artículos de alimentación. Calcula los precios a la venta de los tres artículos, teniendo en cuenta que el precio a la venta es el precio con IVA incluido.

8. (2 puntos)

Dados los puntos \( P_1(-2, 1, 1) \), \( P_2(0, a, -2) \), \( P_3(-1, 1, -1) \) y \( P_4(1, 3, -3) \), se pide:

a) (1,2 puntos) Calcula los valores de \( a \in \mathbb{R} \) para que el tetraedro con vértices \( P_1, P_2, P_3 \) y \( P_4 \) tenga volumen \( \frac{1}{3} \).

b) (0,8 puntos) Calcula el valor de \( a \in \mathbb{R} \) para que los cuatro puntos sean coplanarios.

9. (2 puntos)

Una asignatura de matemáticas de la Escuela de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad de Zaragoza tiene 99 personas matriculadas (54 alumnas y 45 alumnos). En primera convocatoria aprueban la asignatura 49 personas (28 alumnas y 21 alumnos).

a) (1,2 puntos) ¿Cuál es el porcentaje de alumnas que aprueban la asignatura en primera convocatoria?, ¿y de alumnos?

b) (0,8 puntos) Si elegimos aleatoriamente a una persona que haya aprobado la asignatura en primera convocatoria, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer?

10. (2 puntos)

Vamos a suponer que durante el año 2023, las llegadas de turistas a nuestro país se realizaron de la siguiente forma: un 55% llegó en avión, un 30% llegó en tren, un 10% llegó en autobús y un 5% llegó en barco. Además, sabemos que, de todos estos viajeros, visitaron Aragón el 50% de los que vinieron en avión, el 60% de los que vinieron en tren, el total de los que viajaron en autobús, y un 20% de los que vinieron en barco. Con estos datos, se pide:

a) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un turista seleccionado al azar entre los que visitaron España en 2023 haya visitado Aragón.

b) (1 punto) Calcula la probabilidad de que un turista visitante de Aragón haya hecho su viaje a España en autobús o en tren.

1. (2 puntos)

Dada la siguiente función

\[ f(x) = \begin{cases} a - \cos(x) & x \leq 0 \\ x^2 - b \operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{2}\right) & x > 0 \end{cases}, \quad a, b \in \mathbb{R} \]

a) (1 punto) Estudia su continuidad en \( \mathbb{R} \) según los valores de \( a \) y \( b \).

b) (1 punto) Para \( a = 1 \), calcula el valor de \( b \) para que, en el punto con \( x = \frac{\pi}{2} \), la función tenga la recta tangente \( y = \frac{\pi}{2} x \).

2. (2 puntos)

Estudia la existencia del siguiente límite y calcúlalo en caso de existir:

\[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2) \cdot (3x^5 + 5x^4 - 7x^3 + 2x^2 - x + 3) + 2}{3 - (x^2 - 4) \cdot \sqrt{\operatorname{sen}(2x^2) + (\cos(x))^2 + \log(x + 5)}} \]

3. (2 puntos)

Calcula el área encerrada por las gráficas de las funciones \( f(x) = x + 6 \) y

\[ g(x) = \begin{cases} -2x & \text{si } x < 0 \\ x^2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \]

4. (2 puntos)

En una cristalería, a un cristal rectangular de 120 centímetros de alto y 70 centímetros de ancho se le ha cortado por error la esquina superior derecha como se ve en el dibujo (Al final del examen). Quieren recortar dicho cristal nuevamente de forma rectangular, de modo que la superficie sea la máxima posible haciendo como máximo dos cortes. ¿Cuáles serán las dimensiones del nuevo cristal rectangular recortado?

5. (2 puntos)

De una matriz \( B \) sabemos que cumple

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ -7 & -8 & -9 \end{pmatrix} \cdot B = I_3 - \begin{pmatrix} 10 & 11 & 12 \\ 7 & 9 & 9 \\ -4 & -5 & -7 \end{pmatrix} \cdot B \]

donde \( I_3 \) es la matriz identidad de orden 3. Estudia si la matriz \( B \) tiene inversa. En caso afirmativo, calcula la inversa de \( B \).

6. (2 puntos)

Dadas las siguientes matrices

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & m \\ 4 & 4 & 2m \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 12 \end{pmatrix}, \quad m \in \mathbb{R} \]

a) (1,2 puntos) Analiza el rango de la matriz \( A \) según los valores de \( m \in \mathbb{R} \).

b) (0,8 puntos) Resuelve el sistema \( A \cdot X = B \) para el valor \( m = 2 \).

7. (2 puntos)

En un laboratorio de una empresa farmacéutica se fabrican tres tipos de medicamentos, \( M_1, M_2 \) y \( M_3 \), a partir de tres principios activos, \( A_1, A_2 \) y \( A_3 \), distintos. En la siguiente tabla se reflejan los miligramos de principio activo necesarios para fabricar un gramo de cada medicamento:

En dicho laboratorio se dispone actualmente de 70 gramos del activo \( A_1 \), 90 gramos del activo \( A_2 \) y 160 gramos del activo \( A_3 \). Se va a cerrar por vacaciones y la empresa quiere no dejar principios activos en el laboratorio. ¿Es posible utilizar la cantidad total exacta disponible de principios activos del laboratorio fabricando los medicamentos \( M_1, M_2 \) y \( M_3 \)? En caso afirmativo, ¿qué cantidades de cada medicamento podrá fabricar el laboratorio con dichos principios activos?

8. (2 puntos)

Halla la ecuación de un plano que es perpendicular a la recta dada por los planos

\[ \begin{cases} 2x + y - z = 0 \\ x - y + z = -3 \end{cases} \]

y además pasa por el punto \( (3, 2, 1) \).

9. (2 puntos)

Sean \( A(1, 2, 3) \), \( B(1, 0, -1) \) y \( C(2, 2, 2) \) tres puntos en el espacio y \( \vec{v}_1 \) el vector que va de \( A \) a \( B \); \( \vec{v}_2 \) el vector que va de \( B \) a \( C \) y \( \vec{v}_3 \) el vector que va de \( C \) a \( A \).

a) (1 punto) Estudia si los vectores \( \vec{v}_1, \vec{v}_2 \) y \( \vec{v}_3 \) son linealmente independientes.

b) (1 punto) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son \( A, B, C \).

10. (2 puntos)

El 84% de los exámenes de Matemáticas II de la fase genérica en la convocatoria ordinaria de la EvAU en 2022 en Aragón obtuvieron una nota mayor o igual a 5.

a) (0,8 puntos) Si seleccionamos aleatoriamente 15 de aquellos exámenes, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 tengan una nota inferior a 5?

b) (1,2 puntos) Con los 15 exámenes anteriores, ¿es más probable que menos de 2 exámenes tengan nota inferior a 5 o que más de 2 exámenes tengan nota inferior a 5?