matemáticas ii la rioja
curso 2023-2024
Curso 2023-2024 - Convocatoria Ordinaria
INSTRUCCIONES: El alumno contestará a SÓLO 5 ejercicios de entre los planteados. En caso contrario, el corrector corregirá los cinco que haya contestado primero. Todas las preguntas tienen la misma puntuación (2 puntos). Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.
PREGUNTA 1 [2 PUNTOS]
Escribe la ecuación de la recta tangente a la curva \( y = \frac{1}{x} \) en el punto \( (3, \frac{1}{3}) \). Comprueba que el segmento de esta recta comprendido entre los ejes de coordenadas está dividido en dos partes iguales por el punto de tangencia.
PREGUNTA 2 [2 PUNTOS]
En una finca con forma de semicírculo de radio \( 20 \, \text{m} \) se quiere poner un jardín rectangular, de tal manera que uno de los lados esté sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus extremos en la parte de la curva. Calcula las dimensiones del jardín para que su área sea máxima.
PREGUNTA 3 [2 PUNTOS]
Halla la función \( f \) sabiendo que:
\[ \int f(x) \, dx = \ln \frac{(x - 1)^3}{(x + 2)^2} + k \]
Analiza la continuidad de la función \( f \) en las abscisas \( x = -2 \) y \( x = 1 \).
PREGUNTA 4 [2 PUNTOS]
Dada la matriz \( A \):
\[ A = \begin{pmatrix} \frac{3}{5} & x & 0 \\ y & -\frac{3}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Halla \( x \) e \( y \) para que su inversa, \( A^{-1} \), coincida con su traspuesta, \( A^T \). En tal caso, halla \( A^T A^2 - 2A \).
PREGUNTA 5 [2 PUNTOS]
Añade una ecuación al sistema de ecuaciones lineales:
\[ \begin{cases} 2x - y + 2z = 1 \\ x + y - z = 3 \end{cases} \]
de modo que sea:
(i) incompatible.
(ii) compatible determinado.
(iii) compatible indeterminado.
PREGUNTA 6 [2 PUNTOS]
Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \), halla dos matrices \( B \) y \( C \) tales que satisfagan las siguientes ecuaciones:
\[ \begin{cases} B + C^{-1} = A \\ B - C^{-1} = A^T \end{cases} \]
donde denotamos por \( A^T \) la matriz traspuesta de \( A \).
PREGUNTA 7 [2 PUNTOS]
Determina los valores de \( a \) para que los planos de ecuaciones:
\[ \begin{cases} \pi_1: x + y + z = a - 1 \\ \pi_2: 2x + y + a z = a \\ \pi_3: x + a y + z = 1 \end{cases} \]
(i) se corten en un punto.
(ii) se corten en una recta.
(iii) no se corten.
PREGUNTA 8 [2 PUNTOS]
Halla la ecuación continua de la recta \( s \) que está contenida en el plano \( \pi: x + y - 2z + 1 = 0 \) y corta perpendicularmente a la recta:
\[ r \equiv \begin{cases} x + y + z = -1 \\ 4x - y + z = 3 \end{cases} \]
PREGUNTA 9 [2 PUNTOS]
En un examen de matemáticas, las puntuaciones tipificadas de dos estudiantes fueron \( 0.6 \) y \( -0.8 \), y sus notas reales \( 94 \) y \( 73 \), respectivamente. Calcula:
(i) la media y desviación típica de las puntuaciones del examen que siguen una distribución normal.
(ii) entre qué puntuaciones alrededor de la media está la nota del 60% de los estudiantes.
(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)
PREGUNTA 10 [2 PUNTOS]
Dados los sucesos \( A \) y \( B \) de un experimento aleatorio, se sabe que \( P(A) = 0.27 \), \( P(B') = 0.82 \) y \( P(A \cup B) = 0.4 \). Determina si los sucesos \( A \) y \( B \) son compatibles o incompatibles. Calcula \( P((A \cup B)') \) y \( P(A' \cup B') \), (\( A' \) significa suceso complementario).
Curso 2023-2024 - Convocatoria Extraordinaria
INSTRUCCIONES: El alumno contestará a SÓLO 5 ejercicios de entre los planteados. En caso contrario, el corrector corregirá los cinco que haya contestado primero. Todas las preguntas tienen la misma puntuación (2 puntos). Es necesario justificar las respuestas. Se permite el uso de calculadoras científicas siempre que no sean programables ni gráficas ni calculen integrales. Si algún alumno es sorprendido con una calculadora no autorizada, podrá ser expulsado del examen; en todo caso, se le retirará la calculadora sin que tenga derecho a que le proporcionen otra.
PREGUNTA 1 [2 PUNTOS]
Escribe, si existen, las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva:
\[ f(x) = |x| \exp(-x) \]
en los puntos de abscisa \( x = 0 \) y \( x = -1 \).
PREGUNTA 2 [2 PUNTOS]
Un nadador se encuentra a \( 2 \, \text{km} \) de la playa enfrente del puesto de la Cruz Roja. Desea ir a la caseta de las duchas que está en la misma playa a \( 3 \, \text{km} \) de distancia del puesto de la Cruz Roja. Sabiendo que nada a \( 3 \, \text{km/h} \) y anda por la arena a \( 5 \, \text{km/h} \), determinar a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a las duchas en el menor tiempo posible.
PREGUNTA 3 [2 PUNTOS]
Dada la función:
\[ f(x) = (1 - x^2) \tan(x) \]
Demuestra que tiene un máximo relativo en el intervalo \( (0, \frac{\pi}{2}) \).
PREGUNTA 4 [2 PUNTOS]
Halla la matriz \( X \) que satisface:
\[ A X A + B = B (2 A + I) \]
donde \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \) e \( I \) es la matriz identidad de orden 2.
PREGUNTA 5 [2 PUNTOS]
Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real \( a \):
\[ \begin{cases} x - y + a z = a \\ a x + y - z = a \\ (a + 1) x + z = a + 2 \end{cases} \]
halla la matriz \( A^{-1} b \) sin calcular la matriz inversa de \( A \), siendo \( A \) la matriz de coeficientes y \( b \) la de términos independientes.
PREGUNTA 6 [2 PUNTOS]
Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & -a \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} a - 4 & -1 \\ 0 & 2 a \end{pmatrix} \), halla \( a \) para que:
\[ A^2 - A = 12 I + B \]
con \( I \) la matriz identidad de orden 2. A continuación, halla la matriz \( X \) tal que \( X A = A X = I \).
PREGUNTA 7 [2 PUNTOS]
Dados los planos de ecuaciones:
\[ \begin{cases} a x + y + z = a^2 \\ x - y + z = 1 \\ 3 x - y - z = 1 \\ 6 x - y + z = 3 a \end{cases} \]
analiza según los valores del parámetro \( a \) su posición relativa.
PREGUNTA 8 [2 PUNTOS]
Dado el punto \( P \equiv (2, -1, 3) \), halla las ecuaciones de los siguientes planos que contienen a \( P \):
(i) Paralelo a \( \pi: 4x + 3y - 2z + 4 = 0 \).
(ii) Perpendicular a la recta \( r \equiv \frac{x - 3}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{-4} \).
PREGUNTA 9 [2 PUNTOS]
Una máquina de café está regulada de modo que la cantidad de café que echa está distribuida por una normal de media \( 125 \, \text{ml} \) y una desviación típica de \( 20 \, \text{ml} \). Calcula:
(i) el porcentaje de vasos que se llenarán con más de \( 150 \, \text{ml} \).
(ii) entre qué capacidades (ml) está el 60% de los cafés que dispensa la máquina.
(Véase la tabla simplificada de la normal tipificada que aparece al final del examen)
PREGUNTA 10 [2 PUNTOS]
El 2% de la población mundial padece una cierta enfermedad. Se dispone de una prueba para detectarla, pero no es fiable. En el 98% de los casos da positivo en personas enfermas. Y en el 4% de los casos da positivo en personas sanas. Halla:
(i) la probabilidad de que una persona esté sana, habiendo dado la prueba positiva.
(ii) [Nota: El texto está incompleto en el documento original, parece faltar la segunda parte del enunciado. Se asume que se pide algo relacionado con probabilidades condicionales.]