EBAU Julio 2024

2A (2.5 ptos)

Tres amigos, Aythami, Besay y Chamaida deciden hacer un fondo común con el dinero que tienen para merendar. La razón (o cociente) entre la suma y la diferencia de las cantidades de dinero que ponen Aythami y Besay es \( \frac{11}{5} \). La diferencia entre las cantidades aportadas por Aythami y Chamaida es el doble de lo que ha puesto Besay. Además, el doble de la suma de las cantidades que ponen Besay y Chamaida excede en 2 euros a la que aporta Aythami. Hallar la cantidad de dinero que aporta cada uno. 2.5 ptos

EBAU Julio 2024

2B (2.5 ptos)

Dada la matriz \( M_k = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ k & k & k \end{array} \right) \).

a) [1.25 ptos] Estudiar el rango de la matriz \( M_k \), dependiendo de los valores del parámetro \( k \).

b) [1.25 ptos] Tomamos \( M_1 \) como la matriz anterior para el valor \( k = 1 \), y , hallar la matriz \( X \) que satisface la ecuación:

EBAU Junio 2024

2A (2.5 puntos)

Resolver el siguiente sistema matricial:

$$ \left.\begin{array}{l} 5X - 4Y = \left(\begin{array}{rrr} 5 & 6 & -1 \\ 4 & -5 & 1 \end{array}\right) \\ 4X - 6Y = \left(\begin{array}{rrr} 4 & 2 & 2 \\ 6 & -4 & -2 \end{array}\right) \end{array}\right\} $$

EBAU Junio 2024

2B (2.5 puntos)

Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales con un parámetro \( k \in \mathbb{R} \):

$$ \left.\begin{array}{l} k x + y - 3z = 5 \\ -x + y + z = -4 \\ k x + y - k z = 1 \end{array}\right\} $$

a) Discutir la resolución del sistema según los valores del parámetro \( k \). 1.25 ptos

b) Resolver el sistema cuando \( k = 4 \). 1.25 ptos

EBAU Julio 2023

2A (2.5 puntos)

Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \left.\begin{array}{l} -x + ky + 2z = k \\ 2x + ky - z = 2 \\ kx - y + 2z = k \end{array}\right\} $$

a) Discutir la compatibilidad del sistema según los diversos valores de \( k \). 1.5 ptos

b) Resolver el sistema para \( k = 2 \). 1 ptos

EBAU Julio 2023

2B (2.5 puntos)

Resolver la ecuación matricial: \( AX + B^T = A^2 \), siendo:

$$ A = \left(\begin{array}{lll} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \quad \text{y} \quad B = \left(\begin{array}{rrr} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 3 \end{array}\right) $$

EBAU Junio 2023

2A (2.5 puntos)

Dadas las matrices

$$ A = \left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right), B = \left(\begin{array}{rrr} -1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) \text{y} C = \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \end{array}\right), $$

a) Comprobar si la matriz \( M = 2 I_3 + B^T \) tiene inversa. 0.75 ptos

Donde \( I_3 \) la matriz identidad de orden 3.

b) Justificar que existe la matriz que verifica la ecuación siguiente: 1.75 ptos

$$ 2X + C = A - X \cdot B^T $$

Calcular razonadamente dicha matriz \( X \).

EBAU Junio 2023

2B (2.5 puntos)

Un bar de tapas canario sólo ofrece tres platos en su menú: escaldón, tollos y carajacas. El precio medio de los tres platos (la ración) es de 5€. Se sirven 30 raciones de escaldón, 20 raciones de tollos y 10 raciones de carajacas, por lo que se ingresaron 255 euros en total. Sabiendo que el triple del precio de las carajacas supera en diez euros el doble del precio de los tollos. Calcula el precio de la ración de cada producto.

EBAU Julio 2022

2A (2.5 puntos)

Resuelva los siguientes apartados:

a) Dadas las matrices \( A = \left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \) y \( B = \left(\begin{array}{rr} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \), para \( k \in \mathbb{R} \) sea \( C \) la matriz dada por:

$$ C = A^t + k B \cdot A $$

Averigua para qué valores de \( k \), la matriz \( C \) tiene rango 2. 0.75 ptos

b) Encuentra la matriz \( X \), de dimensión 3×3, que verifica \( M^t \cdot X = I - M \), donde

$$ M = \left(\begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right) $$

1.75 ptos

EBAU Julio 2022

2B (2.5 puntos)

Considere el siguiente sistema de ecuaciones:

$$ \left.\begin{array}{l} 2x + 6y + k z = 0 \\ k x + 4y + 2z = 2 \\ k x + 6y + 2z = k - 2 \end{array}\right\} $$

a) Discute la resolución del sistema según los valores que puede tomar el parámetro \( k \). 1.5 ptos

b) Resuelve el sistema cuando el parámetro \( k \) toma el valor \( k = 0 \). 1 pto

EBAU Junio 2022

2A (2.5 puntos)

Averigua qué dos matrices de dimensiones 3×3, \( X \) e \( Y \), verifican las siguientes condiciones:

- La suma de ambas matrices \( X \) e \( Y \) da como resultado la matriz \( I_3 \) (siendo \( I_3 \) la matriz identidad 3×3)

- Siendo \( A = \left(\begin{array}{rrr} 9 & 0 & -7 \\ 14 & -12 & 0 \\ 0 & -7 & -5 \end{array}\right) \), la matriz traspuesta de \( A \) es el resultado de realizar la resta del doble de la matriz \( X \) y cinco veces la matriz \( Y \)

EBAU Junio 2022

2B (2.5 puntos)

Dado el siguiente sistema de ecuaciones con un parámetro \( k \):

$$ \left.\begin{array}{l} k x - y - z = 1 \\ x + k y + 2k z = k \\ x + y + z = -1 \end{array}\right\} $$

a) Discute la resolución del sistema de ecuaciones, según los valores que puede tomar el parámetro \( k \). 1.5 ptos

b) Resuelve el sistema para \( k = 1 \). 1 pto

EBAU Julio 2021

2A (2.5 puntos)

Se consideran las matrices: \( A = \left(\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{array}\right) \); \( B = \left(\begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 4 & -1 \end{array}\right) \)

a) Sea la matriz \( M = A + c \cdot B \), donde \( c \) es un número real cualquiera. Calcular los valores de \( c \) de forma que el rango \( (M) = 1 \). 1 pto

b) Sea la matriz \( D = A^2 + B \cdot A \). Averiguar la matriz \( X \) que cumple la siguiente ecuación matricial:

$$ D \cdot X = -30 \left(\begin{array}{rr} 2 & 1 & 3\\ 0 & 1 & 4 \end{array}\right) $$

1.5 ptos

EBAU Julio 2021

2B (2.5 puntos)

En la liga Mate-Basket, las mujeres matemáticas con mayor puntuación son: Lovelace, Noether y Germain. Las tres acumulan 17500 puntos. Además, lo que ha anotado Germain más 2500 puntos es equivalente a la mitad de lo anotado por Lovelace. Finalmente, Noether anotó el doble que Germain. ¿Cuál es el ranking de puntuaciones de la liga Mate-Basket de las jugadoras Lovelace, Noether y Germain?

EBAU Junio 2021

2A (2.5 puntos)

Calcular el valor de la matriz \( M = X^2 - Y^2 \), siendo \( X \) e \( Y \) las matrices que son solución del siguiente sistema:

$$ \left.\begin{array}{l} 4X + 3Y = \left(\begin{array}{rr} 1 & 8 \\ -3 & -1 \end{array}\right) \\ 2X + Y = \left(\begin{array}{rr} 3 & 4 \\ 1 & -1 \end{array}\right) \end{array}\right\} $$

EBAU Junio 2021

2B (2.5 puntos)

Un granjero compra un determinado mes 274€ de pienso para su ganado. Con ese dinero obtiene un total de 66 sacos de pienso de tres marcas diferentes: A, B y C. Se sabe que el precio de cada marca de pienso que ha comprado es de 5€, 4€ y 4€, respectivamente. También se sabe que el número de sacos adquiridos de la marca C es el doble que el total de sacos comprados de las marcas A y B juntos. Averiguar la cantidad que el granjero ha comprado de cada una de las marcas.

2. OPCIÓN A Dadas las matrices:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 9 \\ 10 & -3 & 5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 9 \\ 10 & -3 & 4 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -3 & -1 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} \)

Se plantea la siguiente ecuación matricial: \( X \cdot A - C^t = X \cdot B \)

a. Justifique razonadamente cuál es la dimensión de la matriz \( X \). (0.5 ptos)

b. Halle la matriz \( X \) que cumple la ecuación. (2 ptos)

2. OPCIÓN B Sea el siguiente sistema de ecuaciones:

\[ \begin{cases} kx + 2y + 6z = 0 \\ 2x + ky + 4z = 2 \\ 2x + ky + 6z = k - 2 \end{cases} \]

a. Discuta el sistema según los valores del parámetro \( k \). (1.75 ptos)

b. Resuelva el sistema para \( k = 0 \). (0.75 ptos)

2. OPCIÓN A Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} k & 0 & 1 \\ 0 & k-1 & k-1 \\ k & 1 & k-3 \end{pmatrix} \)

a. Haga los valores del parámetro \( k \) para los que la matriz \( A \) tiene inversa. (1 pto)

b. Tomando el valor \( k = -1 \) en la matriz \( A \), calcule la matriz \( X \) que verifica que: \( A \cdot X = 24 \cdot I_3 \), siendo \( I_3 \) la matriz identidad de orden 3. (1.5 ptos)

2. OPCIÓN B Una pequeña bombonería tiene en su almacén 24 kg de chocolate y 60 litros de leche, con los que elabora tres productos distintos: cajas de bombones, tabletas de chocolate y paquetes de chocolate en polvo. Del resto de los ingredientes se tienen reservas suficientes.

Se sabe que las cajas de bombones requieren 2 kg de chocolate y 6 litros de leche, las tabletas de chocolate requieren 4 kg de chocolate y 4 litros de leche, y cada paquete de chocolate en polvo requiere 1 kg de chocolate y 4 litros de leche. Se quiere fabricar un total de 12 unidades y con ello se consume todo el chocolate y toda la leche almacenados. ¿Cuántas unidades deben fabricarse de cada tipo de producto?

(2.5 ptos)

2. OPCIÓN A Dado el sistema:

\[ \begin{cases} 2x + y + 3z = 2 \\ 5x + 2y + 4z = -1 \\ 3x + y + k^2z = 3k \end{cases} \]

a) Discutirlo para los distintos valores del parámetro \( k \) (1.5 ptos)

b) Resolverlo para \( k = 2 \) (1 pto)

2. OPCIÓN B Sea la matriz \( C = A \cdot B \), donde:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & m \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ m & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \)

a) Encontrar los valores de \( m \) para los que existe inversa de la matriz \( C \) (1.25 ptos)

b) Calcular la matriz inversa de \( C \) en el caso de \( m = 2 \) (1.25 ptos)

2. OPCIÓN A Dadas las matrices:

\( A = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 1 & x+1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \quad y \quad \text{sea } I_2 \text{ la matriz identidad de orden 2} \)

a) Calcular el valor de \( x \) de modo que se verifique la igualdad: \( B^2 = A \) (0.5 ptos)

b) Calcular el valor de \( x \) para que \( A - I_2 = B^{-1} \) (1.5 ptos)

c) Calcular el valor de \( x \) para que \( A \cdot B = I_2 \) (0.5 ptos)

2. OPCIÓN B Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales: (2.5 ptos)

\[ 2X + 3Y = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 4 \\ 7 & -1 & 12 \end{pmatrix} \]

\[ X - 2Y = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 2 \\ -7 & 3 & -1 \end{pmatrix} \]

2. OPCIÓN A- Determinar una matriz \( X \) que verifique la ecuación

\( AB - CX = I \)

siendo las matrices:

\( A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 0 & -5 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

(2.5 puntos)

2. OPCIÓN B- Considerar el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + ky + z = 2 \\ x + y + kz = k - 1 \end{cases} \]

a) Estudiar el sistema para los distintos valores de \( k \) (1.5 puntos)

b) Resolver el sistema para \( k = 1 \) (1 punto)

2. OPCIÓN A- Dado el sistema de ecuaciones

\[ \begin{cases} x + ky + kz = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x + 2y + 4z = 2 \end{cases} \]

a) Discutir el sistema según los valores del parámetro \( k \) (1.25 ptos)

b) Resolver el sistema para \( k = 1 \) (1.25 ptos)

2. OPCIÓN B- Dada la matriz

\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & m + 1 & 2 \\ m - 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)

a) Calcular los valores del parámetro \( m \) para los cuales la matriz \( A \) tiene inversa. (1 ptos)

b) Para \( m = 1 \), calcular la matriz inversa \( A^{-1} \) (1.5 ptos)

3. OPCIÓN A Sea \( M \) la matriz \( M = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 7 \end{pmatrix} \). Resolver el siguiente sistema de ecuaciones matriciales

\[ \begin{cases} 2X + 3Y = M \\ 3X - 2Y = M^{-1} \end{cases} \]

(2.5 puntos)

3. OPCIÓN B Hallar la matriz \( X \) que cumple la ecuación matricial \( A^{-1}XA = B \) siendo

\( A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \quad y \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)

(2.5 puntos)

3. OPCIÓN A Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & x \\ x-1 & -1 \end{pmatrix} \), \( C = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \)

a) Calcular el valor \( x \) para que se cumpla: \( A + B + C^2 = 3 \cdot I_2 \), donde \( I_2 \) es la matriz identidad de orden 2 (1 punto)

b) Calcular la matriz \( X \) solución de la ecuación matricial: \( A \cdot X + C^2 = 3 \cdot I_2 \) (1.5 puntos)

3. OPCIÓN B Sea el sistema de ecuaciones lineales

\[ \begin{cases} 2x + y + kz = 1 \\ kx + 2y - z = -2 \\ y - 3z = -3 \end{cases} \]

a) Estudiarlo y clasificarlo para los distintos valores del parámetro \( k \) (1.5 puntos)

b) Resolverlo para \( k = 2 \) (1 punto)