APARTADO A (4 puntos)

Una compañía energética realiza un estudio de mercado entre sus clientes. Responde, razonadamente, a las siguientes cuestiones que surgieron en el estudio:

A1. Los clientes de esta compañía energética pueden contratar dos productos: electricidad o gas. El 75% de los clientes contrata la electricidad. De estos clientes, sólo el 20% contrata el gas. Se pide, justificando las respuestas:

a) ¿Qué porcentaje de clientes contrata ambos productos?

b) Si el 90% de los clientes contrata alguno de los dos productos, ¿qué porcentaje de clientes contrata el gas?

A2. El gasto mensual en electricidad de los clientes de esta compañía es una variable que se ajusta a una distribución normal con desviación típica de 16 euros. Se examinan las facturas de 81 clientes elegidos al azar, resultando un gasto promedio de 72 euros. Se pide, justificando las respuestas:

a) Hallar un intervalo de confianza, al nivel de confianza del 90%, para el gasto medio mensual en electricidad de los clientes de esta compañía.

b) En base a dicho intervalo, ¿podemos decir que el gasto medio mensual en electricidad de los clientes de esta compañía superó los 70 euros?

APARTADO B (3 puntos)

B1. Dada la matriz \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & b \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \] se pide, justificando las respuestas:

a) Hallar el valor de \(b\) para el que no existe la matriz inversa de \(A\).

b) Para \(b = 0\), hallar la matriz \(X\) que verifique \(A \cdot X = A + 2 \cdot X\).

B2. Una tienda de accesorios de telefonía móvil vende baterías externas, carcasas y cargadores a 20, 10 y 15 euros, respectivamente. Los precios de coste de estos productos son de 15 euros cada batería, 8 euros cada carcasa y 12 euros cada cargador. Cierta semana, en la que el total de los productos le costó 1210 euros, obtuvo unos beneficios de 340 euros. Calcular cuántas unidades vendió de cada producto si sabemos que en total vendió 100 (las mismas que compró).

APARTADO C (3 puntos)

Elige uno de los siguientes problemas y resuélvelo, justificando las respuestas:

C1. En una almazara el coste total (en euros) que supone la producción de \(x\) toneladas de determinada variedad de aceite de oliva viene dado por la función: \[ C(x) = 2x^4 - 48x^3 + 360x^2 - 600x, \quad 5 \leq x \leq 13 \] Determinar, justificando la respuesta:

a) La función que proporciona el coste medio por tonelada (coste unitario).

b) La cantidad de toneladas que han de producirse para alcanzar los costes unitarios mínimo y máximo.

c) Los costes unitarios máximo y mínimo que puede tener la almazara.

C2. Calcular de forma razonada:

a) El área encerrada por la función \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) y el eje \(OX\) entre \(x = 1\) y \(x = 4\).

b) Las asíntotas de la función: \[ g(x) = \frac{3x + 2}{x^2 - 2x - 3} \]