extremadura bloque I: álgebra
PAU Modelo de examen 2025
Ejercicio 1A (2.5 puntos)
Resolver el sistema de ecuaciones lineales:
\( \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2z = k \\ 2x + y - z = 2 \\ x + 3y + z = 1 \end{array} \right. \)
a) [1 punto] Discute el sistema según los valores del parámetro \( k \).
b) [1.5 puntos] Resuelve el sistema para \( k = -2 \).
PAU Extraordinaria 2025
Ejercicio 1B (2.5 puntos)
Determina la función \( f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \) tal que:
- \( f(0) = 1 \)
- \( f'(0) = 0 \)
- \( f''(x) = 12x + 6 \)
EBAU Extraordinaria 2024
Ejercicio 1 (2 puntos)
Se consideran las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ -1 & -1 & 0 \end{array} \right) \) y \( C = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -1 \end{array} \right) \).
a) [1 punto] Calcular la inversa de la matriz \( A + A^t \) donde \( A^t \) es la traspuesta de \( A \).
b) [1 punto] Encontrar la matriz \( X \) que verifica \( X A + X A^t = C \).
EBAU Extraordinaria 2024
Ejercicio 2 (2 puntos)
Estudia el rango de la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 2m & 1 & 1 \\ 2 & m & 1 \\ 2 & 1 & m \end{array} \right) \) según sea el valor de \( m \).
EBAU Ordinaria 2024
Ejercicio 1 (2 puntos)
Sea \( b \in \mathbb{R} \) y la matriz \( A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 2 & b + 1 \\ b + 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & b \end{array} \right) \)
a) [1 punto] Calcular los valores de \( b \) para los que \( A \) tiene inversa.
b) [1 punto] Hallar \( A^{-1} \) para el caso \( b = 0 \) (debe justificarse adecuadamente la respuesta).
EBAU Ordinaria 2024
Ejercicio 2 (2 puntos)
Dadas las matrices \( A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right) \), \( M = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ b & 1 \\ a - b & 1 \end{array} \right) \) y \( N = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) \), hallar los valores de \( a \) y \( b \) para que el producto \( A \cdot M \) sea igual a la inversa de la matriz \( N \).
EBAU Extraordinaria 2023
Ejercicio 1 (2 puntos)
Estudiar el rango de la matriz \( A - \lambda \cdot I \) según los valores de \( \lambda \in \mathbb{R} \), donde \( A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \end{array} \right) \) e \( I \) es la matriz identidad de orden 3.
EBAU Extraordinaria 2023
Ejercicio 2 (2 puntos)
Discutir el sistema para los distintos valores del parámetro \( a \in \mathbb{R} \)
\( \left\{ \begin{array}{c} x + y + z = 2a - 1 \\ 2x + y + az = a \\ x + ay + z = 1 \end{array} \right\} \)
Resolver el sistema en el caso \( a = 1 \). (0.5 puntos)
EBAU Ordinaria 2023
Ejercicio 1 (2 puntos)
Encontrar la matriz \( X \) que verifica \( (A - 3I) \cdot X = 2I \), donde
\( A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{array} \right) \)
e \( I \) es la matriz identidad de orden 3.
EBAU Ordinaria 2023
Ejercicio 2 (2 puntos)
Determinar todos los números \( x \in \mathbb{R} \) para los que el determinante
\( \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & x & 3 \\ 4 & 1 & -x \end{array} \right| \)
es mayor o igual que cero.
EBAU Extraordinaria 2022
Ejercicio 1 (2 puntos)
Sea la matriz \( A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \).
a) [1.5 puntos] Estudiar el rango de la matriz \( A - \lambda I \) según los valores de \( \lambda \in \mathbb{R} \), donde \( I \) es la matriz identidad de orden \( 2 \times 2 \).
b) [0.5 puntos] Para \( \lambda = 2 \) solucionar el sistema \( A X = \lambda X \), donde \( X = \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \).
EBAU Extraordinaria 2022
Ejercicio 2 (2 puntos)
Discutir en función del parámetro \( a \in \mathbb{R} \), el sistema lineal de ecuaciones:
\( \left\{ \begin{array}{rl} 4x + y - 2az & = a \\ ax - y + z & = 0 \\ y - az & = -1 \end{array} \right\} \)
EBAU Ordinaria 2022
Ejercicio 1 (2 puntos)
Sean las matrices \( A = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ a \end{array} \right) \), \( B = \left( \begin{array}{c} 3 \\ -1 \\ -4 \end{array} \right) \), y \( C = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \).
a) [0.5 puntos] Calcular, cuando sea posible, las matrices \( C \cdot B^t \), \( B^t \cdot C \), \( B \cdot C \), donde \( B^t \) es la matriz traspuesta de \( B \).
b) [1.5 puntos] Hallar \( a \in \mathbb{R} \) para que el sistema \( x \cdot A + y \cdot B = C \) de tres ecuaciones y dos incógnitas \( x \) e \( y \), sea compatible determinado y resolverlo para ese valor de \( a \).
EBAU Ordinaria 2022
Ejercicio 2 (2 puntos)
Dadas las matrices
\( M = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \) y \( N = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 3 \end{array} \right) \)
Calcular la matriz \( X \) cuadrada de orden 3 que cumple \( M \cdot X - N = 2X \).
EBAU Extraordinaria 2021
Ejercicio 1 (2 puntos)
Sea la igualdad matricial \( M \cdot X = N \), donde \( M = \left( \begin{array}{ccc} k & 2k & 2 \\ -1 & k & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{array} \right) \) y \( N = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \)
a) [0.5 puntos] ¿Cuántas filas y columnas debe tener la matriz \( X \)? (Justificar la respuesta).
b) [1 punto] ¿Para qué valores de \( k \in \mathbb{R} \) es la matriz \( M \) invertible?
c) [0.5 puntos] ¿Puede ser \( M \cdot N \) invertible para algún valor de \( k \in \mathbb{R} \)?
EBAU Extraordinaria 2021
Ejercicio 2 (2 puntos)
Discutir y resolver (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro \( a \in \mathbb{R} \):
\( \left\{ \begin{array}{rl} ax + y & = 1 \\ x + ay & = a \\ ax + 2y & = 1 \end{array} \right\} \).
EBAU Ordinaria 2021
Ejercicio 1 (2 puntos)
Demostrar que la matriz \( M = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \) verifica la ecuación \( M^2 + \lambda_1 M + \lambda_2 I = 0 \) y determinar los escalares \( \lambda_1 \) y \( \lambda_2 \) de \( \mathbb{R} \) (donde \( I \) y \( 0 \) son las matrices \( 2 \times 2 \) identidad y cero).
EBAU Ordinaria 2021
Ejercicio 2 (2 puntos)
Discutir y resolver (en los casos que sea posible) el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro \( \lambda \in \mathbb{R} \):
\( \left\{ \begin{array}{l} x - y = \lambda \\ x - \lambda y = \lambda \\ \lambda x - y = \lambda \end{array} \right\} \).
EBAU Extraordinaria 2020
Ejercicio 1 (2 puntos)
Sean las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \).
a) [1 punto] Calcule \( A \cdot B \) y \( B \cdot A \). ¿Se cumple \( A \cdot B = B \cdot A \)?
b) [1 punto] Compruebe si \( (A + B)^2 = A^2 + B^2 \).
EBAU Extraordinaria 2020
Ejercicio 2 (2 puntos)
Estudie en función de \( \lambda \in \mathbb{R} \) el sistema:
\[ \begin{cases} x + \lambda z = 1 \\ x + y + \lambda z = 1 \\ \lambda x - y + z = 1 \end{cases} \]
a) [1.25 puntos] Discuta el sistema según los valores de \( \lambda \).
b) [0.75 puntos] Resuélvalo para \( \lambda = 1 \).
EBAU Ordinaria 2020
Ejercicio 1 (2 puntos)
Dada la matriz:
\[
\begin{pmatrix}
1 & -1 & k \\
2 & -k & 1 \\
1 & -1 & -1
\end{pmatrix}
\]
a) [1 punto] Estudie los valores de \( k \in \mathbb{R} \) para los que la matriz tiene inversa.
b) [1 punto] Calcule la inversa para \( k = 1 \).
EBAU Extraordinaria 2020
Ejercicio 2 (2 puntos)
Estudie en función de \( \lambda \in \mathbb{R} \) el sistema:
\[
\begin{cases}
x + \lambda z = 1 \\
x + y + \lambda z = 1 \\
\lambda x - y + z = 1
\end{cases}
\]
a) [1.25 puntos] Discuta el sistema según los valores de \( \lambda \).
b) [0.75 puntos] Resuélvalo para \( \lambda = 1 \).
EBAU Extraordinaria 2019
Ejercicio 1 (2 puntos)
Dadas las siguientes matrices \( A \) e \( I \), pruebe que la inversa de \( A \) es \( A^{-1} = A^2 - 3A + 3I \):
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 1 & -1 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}, \quad
I = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\]
EBAU Extraordinaria 2019
Ejercicio 1 (2 puntos)
Discuta en función del parámetro \( a \in \mathbb{R} \) el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
2x + y - a z = 2 \\
x + y = a + 1 \\
(a + 1)x + y - z = 2
\end{cases}
\]
EBAU Ordinaria 2019
Ejercicio 1 (2 puntos)
Discuta en función del parámetro \( a \in \mathbb{R} \) el siguiente sistema de ecuaciones:
\[
\begin{cases}
3x + 2y + a z = 1 \\
a x + y - z = 2 \\
5x + 3y + z = 2a
\end{cases}
\]
EBAU Ordinaria 2019
1 (2 puntos)
Dada la matriz \( A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & -\lambda & -1 \end{pmatrix} \)
a) Halle los valores de \( \lambda \in \mathbb{R} \) para que la matriz \( A \) tenga inversa. (1 punto)
b) Halle, si existe, la inversa de la matriz para \( \lambda = 1 \). (1 punto)
EBAU Extraordinaria 2018
1 (2.5 puntos)
Sea la matriz \( A \) que depende del parámetro \( a \in \mathbb{R} \)
\( A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ a & 0 & a \\ -2 & a & 0 \end{pmatrix} \)
(a) Determine el rango de la matriz \( A \) según los valores del parámetro \( a \). (1.5 puntos)
(b) Para \( a = 1 \) resuelva, si existe solución, la ecuación matricial \( A \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \). (1 punto)
EBAU Extraordinaria 2018
1 (2.5 puntos)
Considere las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
(a) Calcule la matriz \( X \) tal que \( X = A^2 + B^2 - 2 A B \). (1 punto)
(b) Halle la inversa de la matriz \( A \). (1.5 puntos)
EBAU Ordinaria 2018
1 (2 puntos)
(a) Discuta, en función del parámetro \( \lambda \), el sistema lineal de ecuaciones
\( \left\{ \begin{array}{l} x + 2 y - z = 0 \\ \lambda x + y + z = 1 \\ x + y + \lambda z = 1 \end{array} \right. \) (1 punto)
(b) Resuelva el sistema para \( \lambda = 1 \). (1 punto)
EBAU Ordinaria 2018
1 (2.5 puntos)
Considere las matrices \( A = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & 2 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
(a) Calcule la matriz \( C = -3 A + B^2 \). (1 punto)
(b) Halle la inversa \( A^{-1} \) de la matriz \( A \). (1.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2017
1 (2.5 puntos)
(a) Calcule el determinante de la matriz
\( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \) (0.5 puntos)
(b) Obtenga el determinante de la matriz \( B = \frac{1}{3} A^4 \) sin calcular previamente \( B \). (0.5 puntos)
(c) Calcule la matriz inversa de \( A \). (1.5 puntos)
EBAU Extraordinaria 2017
1 (2.5 puntos)
Considere el sistema de ecuaciones
\( \left\{ \begin{array}{rl} x + y & = 0 \\ x - z = 1 \\ a x + b y + c z & = 1 \end{array} \right. \)
Obtenga valores de los parámetros \( a \), \( b \) y \( c \) en los siguientes casos:
(a) Para que el sistema sea compatible determinado. (0.75 puntos)
(b) Para que el sistema sea compatible indeterminado. (1 punto)
(c) Para que el sistema sea incompatible. (0.75 puntos)
EBAU Ordinaria 2017
1 (2 puntos)
(a) Estudie cómo es el sistema de ecuaciones:
\( \begin{array}{l} 3 x - 5 z = 3 \\ 3 x - 3 y + 2 z = 0 \\ 2 x - y - z = 1 \end{array} \) (1 punto)
(b) Resuelva el anterior sistema de ecuaciones. (1 punto)
EBAU Ordinaria 2017
1 (2.5 puntos)
Considere las matrices
\( A = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \end{pmatrix} \), \( X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \), \( O = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \)
(a) Obtenga la matriz \( A \cdot B \) y calcule su rango. (1.25 puntos)
(b) Clasifique y resuelva el sistema de ecuaciones \( A \cdot B \cdot X = O \). (1.25 puntos)