Sea \( A = (a_{ij}) \) la matriz de dimensión \( 3 \times 3 \) definida por \( a_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{si } i = 2 \\ (-1)^j (i - 1) & \text{si } i \neq 2 \end{cases} \). Explique si \( A \) y \( A + I \) son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan. (Nota: \( a_{ij} \) es el elemento de \( A \) que está en la fila \( i \) y en la columna \( j \), e \( I \) es la matriz identidad.)

Discuta, según los valores del parámetro \( m \), el sistema:

\[ \begin{cases} x + 2y = m \\ my + 3z = 1 \\ x + (m + 2)y + (m + 1)z = m + 1 \end{cases} \]

De entre todos los rectángulos situados en el primer cuadrante que tienen dos lados sobre los ejes de coordenadas y un vértice sobre la recta \( x + 2y = 4 \), determine los vértices del que tiene mayor área.

Dada la función \( f(x) = \begin{cases} x^2 - x - 1 & \text{si } x \leq 0 \\ -x^2 - x - 1 & \text{si } x > 0 \end{cases} \), calcule el área de la región encerrada por la gráfica de \( f \) y las rectas \( y = 4x - 7 \) e \( y = 1 \).

a) Obtenga la ecuación implícita del plano \( \pi \) que pasa por los puntos \( A(1, 0, 0) \), \( B(0, 2, 0) \) y \( C(0, 0, 3) \).

b) Calcule el punto simétrico de \( P(10, -5, 5) \) con respecto al plano \( \pi: 6x + 3y + 2z - 6 = 0 \).

a) Halle el valor de \( a \) si el plano \( \pi: ax + y + z = 0 \) es paralelo a la recta \( r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + \lambda \end{cases} \), \( \lambda \in \mathbb{R} \).

b) Estudie la posición relativa de los planos \( \pi_1: 2x + y + mz + m = 0 \) y \( \pi_2: (m - 1)x + y + 3z = 0 \) en función del parámetro \( m \).

a) Sean \( A \) y \( B \) dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcule \( P(A) \) sabiendo que \( P(B) = 2 P(A) \), \( P(A \cap B) = 0.1 \) y \( P(A \cup B) = 0.8 \).

b) Diga si los sucesos \( A \) y \( B \) son o no independientes, si se sabe que:

\[ P(A) = 0.6, \quad P(B) = 0.3, \quad \text{y} \quad P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 0.82 \]

El portador de una cierta enfermedad tiene un \( 10\% \) de probabilidades de contagiarla a quien no estuvo expuesto a ella. Si entra en contacto con 8 personas que no estuvieron expuestas, calcule:

a) La probabilidad de que contagie a un máximo de 2 personas.

b) La probabilidad de que contagie a 2 personas por lo menos.

Sean \( A \) y \( B \) dos matrices tales que \( A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & -3 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \) y \( A + B = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \), se pide:

a) Calcule \( A^2 \).

b) Calcule la matriz \( X \) que satisface la igualdad \( A^2 X - (A + B)^T = 3I - 2X \), siendo \( I \) la matriz identidad de orden 2 y \( (A + B)^T \) la traspuesta de \( (A + B) \).

Discuta, según los valores del parámetro \( m \), el siguiente sistema:

\[ \begin{cases} mx + (m + 2)y + z = 3 \\ 2mx + 3my + 2z = 5 \\ (m - 4)y + mz = m \end{cases} \]

a) Enuncie los teoremas de Rolle y de Bolzano.

b) Calcule \( \int x^3 e^{x^2} \, dx \).

Calcule los siguientes límites:

a) \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - \ln (1 + x)}{x \sin x} \)

b) \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{\sin x} - e^x}{x^2} \)

a) Considérese el plano \( \pi: 4x + 2y + bz = 2 \) y la recta \( r: \frac{x - 2}{3} = \frac{y - c}{2} = \frac{z - 3}{4} \), donde \( b \) y \( c \) son parámetros reales. Calcule los valores que tienen que tomar \( b \) y \( c \) para que la recta \( r \) esté contenida en \( \pi \).

b) Calcule la distancia del punto \( P(1, 3, 1) \) al plano \( \pi': 4x + 2y - 4z = 2 \).

a) Considérense los puntos \( Q(-1, 3, -5) \), \( R(3, 1, 0) \) y \( S(0, 1, 2) \). Obtenga la ecuación implícita o general del plano \( \pi \) que contiene a \( Q \), \( R \) y \( S \).

b) Obtenga las ecuaciones paramétricas y la ecuación continua de la recta que pasa por el punto \( P(3, -1, -1) \) y sea perpendicular al plano \( \pi: 4x + 23y + 6z - 35 = 0 \).

Sabiendo que \( P(A) = \frac{1}{3} \) y \( P(B) = \frac{1}{2} \), se pide:

a) Suponiendo que \( A \) y \( B \) son sucesos independientes, calcule \( P(A \cup B) \) y \( P(\bar{A} \mid (\bar{A} \cup \bar{B})) \).

b) Suponiendo que \( A \) y \( B \) son sucesos incompatibles, calcule \( P(A \cup B) \) y \( P(\bar{A} \mid (\bar{A} \cup \bar{B})) \).

(Nota: \( \bar{A} \) y \( \bar{B} \) son los sucesos contrarios o complementarios de \( A \) y \( B \), respectivamente).

Una máquina que distribuye agua en botellas echa una cantidad de agua que sigue una distribución normal con media igual a 500 mililitros y desviación típica igual a 4 mililitros, se pide:

a) Si elegimos al azar una de las botellas, ¿cuál es la probabilidad de que lleve entre 499 y 502 mililitros?

b) ¿Cuál es la cantidad de agua, en mililitros, excedida por el \( 97.5\% \) de estas botellas?