a) [1,2 puntos] Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro \( \lambda \):

\[ \left\{ \begin{array}{c} \lambda x + z = 1 \\ x + y + \lambda z = 1 \\ x - y + z = 1 \end{array} \right. \]

b) [0,8 puntos] Resolverlo para \( \lambda = 1 \).

Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \) y \( M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix} \), calcúlense \( a \) y \( b \) para que se verifiquen \( |MA| = 2 \) y \( |M + B| = 3 \), donde se está usando la notación habitual (con barras verticales) para denotar al determinante de una matriz.

Dada la recta \( r \equiv x + 2 = y = z - 2 \) y el plano \( \pi \equiv x - z + 2 = 0 \), se pide:

a) [0,8 puntos] Determinar la posición relativa de \( r \) y \( \pi \).

b) [1,2 puntos] Calcular el punto simétrico del punto \( P = (-2, 0, 2) \) de la recta \( r \) respecto de \( \pi \) y hallar la recta simétrica de \( r \) respecto del plano \( \pi \).

Dada la recta \( r \equiv x - 1 = \frac{y + 1}{2} = z - 1 \) y el plano \( \pi \equiv x - y + z = 0 \), se pide:

a) [0,8 puntos] Determinar la posición relativa de \( r \) y \( \pi \).

b) [1,2 puntos] Calcular la distancia del plano \( \pi \) al punto \( (1, -1, 1) \) de la recta \( r \) y hallar el plano paralelo a \( \pi \) situado a la misma distancia de \( r \) que \( \pi \).

Dada la función \( f(x) = 3x^4 + x^3 - 1 \), determínense sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos y el número total de puntos en los que \( f(x) \) se anula. (Téngase en cuenta la monotonía de la función y los valores que toma en los extremos relativos previamente calculados).

Dada la función \( f(x) = x e^{-x} \), determínense su dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Esbócese también su gráfica.

Dada la función \( f(x) = x \cos x \), se pide:

a) [0,8 puntos] Demostrar que \( f(x) \) es no negativa en el intervalo \( \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \).

b) [1,2 puntos] Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de \( f(x) \) y el eje de las \( x \), cuando \( x \) pertenece al intervalo \( \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \).

a) [1 punto] Calcular \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\ln (1 + x)} \).

b) [1 punto] Calcular \( \int \frac{(\ln x)^2}{x} \, dx \).

Una corporación informática utiliza 3 bufetes de abogados para resolver casos legales en los tribunales. El bufete A recibe el 30% de los casos legales y gana en los tribunales el 60% de los casos presentados, el bufete B recibe el 50% de los casos legales y gana el 80% de los casos presentados, mientras que el bufete C recibe el 20% de los casos legales y gana el 70% de los casos presentados.

a) [0,5 puntos] Se consideran los sucesos \( A = \) "caso adjudicado al bufete A", \( B = \) "caso adjudicado al bufete B", \( C = \) "caso adjudicado al bufete C", \( G = \) "caso ganado". Deduzca del enunciado los valores de \( P(A) \), \( P(B) \), \( P(C) \), \( P(G|A) \), \( P(G|B) \), \( P(G|C) \).

b) [0,5 puntos] Se elige al azar uno de los casos presentados en los tribunales. Determine la probabilidad de que la empresa gane el caso.

c) [1 punto] Si se ha ganado el caso elegido, calcúlese la probabilidad de que haya sido encargado al bufete A.

La variable aleatoria IMC (índice de masa corporal, de modo abreviado) de las personas adultas de un determinado país sigue una distribución normal de media 26 y desviación típica 6. Si tener un IMC superior a 35 significa ser obeso, encontrar la proporción de personas adultas obesas de ese país.

a) [1,2 puntos] Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro \( a \in \mathbb{R} \):

\[ \left\{ \begin{array}{c} x + \frac{y}{2} + z = 0 \\ 2a x + y = 0 \\ 2x + y + a z = 0 \end{array} \right. \]

b) [0,8 puntos] Resolverlo para \( a = 1 \).

Sean \( a \in \mathbb{R} \) y \( M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} \).

a) [1 punto] Calcular el determinante y el rango de \( M \) para cada valor \( a \in \mathbb{R} \).

b) [1 punto] Para \( a = 0 \), calcular el determinante de la matriz \( P \) cuando \( 2PM = M^3 \).

Hallar el punto simétrico del punto \( P = (1, 0, -1) \) respecto de la recta \( r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{2} \).

a) [1 punto] Determinar los valores del parámetro \( k \in \mathbb{R} \) para los que las dos rectas:

\[ r_1 \equiv \left\{ \begin{array}{l} x = 1 \\ y = k t \\ z = k - 2t \end{array}, t \in \mathbb{R} \right. \quad \text{y} \quad r_2 \equiv \left\{ \begin{array}{c} x + 2y + 2z = -1 \\ x + y + z = k \end{array} \right. \]

son paralelas.

b) [1 punto] Para \( k = 2 \), ¿existe algún plano que contenga a las rectas \( r_1 \) y \( r_2 \)? En caso afirmativo, calcular el plano o los planos que las contengan.

Probar que la ecuación \( e^{-x}(x - 1) = 1 \) no tiene solución para \( x \in \mathbb{R} \).

Se considera la función \( f(x) = x^3 + A x^2 + B x + C \). Determinar el valor de los parámetros \( A \), \( B \) y \( C \) tales que \( f(-1) = 0 \), la función \( f \) presenta un extremo relativo en \( x = 0 \) y la recta tangente a la gráfica de la función \( f \) en \( x = -1 \) es paralela a la recta de ecuación \( y + 3x = 0 \).

Dada la función \( f(x) = e^x x^{-1} \), determinar su dominio de definición, asíntotas verticales y horizontales, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica.

Calcular:

a) [1 punto] \( \lim_{x \to 0} \frac{x (e^x - 1)}{\cos x - 1} \).

b) [1 punto] \( \int_0^2 e^{-x} (x - 1) \, dx \).

Entre los vehículos que revisa un taller mecánico:

• El 48% de ellos son coches, de los cuales las tres cuartas partes requieren reparación.
• El 28% son motocicletas y entre ellas la mitad requieren reparación.
• El 24% son furgonetas, de las cuales un tercio requieren reparación.

Se consideran los sucesos: \( C = \) "coche", \( M = \) "motocicleta", \( F = \) "furgoneta" y \( R = \) "requiere reparación".

a) [0,2 puntos] Indicar qué probabilidades de sucesos, condicionados o no, se consideran en el enunciado y cuáles son sus valores.

b) [1,3 puntos] Calcular \( P(R \cap F) \), \( P(R) \) y \( P(C | R) \).

c) [0,5 puntos] ¿Son independientes los sucesos \( C \) y \( R \)?

Se sabe que la cantidad de tiempo que los habitantes de Astorga usan el móvil cada día sigue aproximadamente una distribución normal de media 160 minutos y desviación típica 30 minutos. Calcular:

a) [1 punto] La probabilidad de que un habitante determinado de Astorga use el móvil cada día menos de dos horas.

b) [1 punto] El porcentaje de habitantes de Astorga que usan el móvil cada día más de tres horas y 50 minutos.

Dado el sistema:

\[ \left\{ \begin{array}{c} 3x + 2y - z = 1 \\ x - y + 2z = 3 \\ m x + 5y - 4z = -1 \end{array} \right. \]

a) [1,2 puntos] Estudiar el sistema en función del parámetro \( m \in \mathbb{R} \).

b) [0,8 puntos] Resolverlo cuando sea compatible indeterminado.

Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ -1 & a \end{pmatrix} \), siendo \( a \in \mathbb{R} \):

a) [0,5 puntos] Calcular \( AB \).

b) [1,5 puntos] Estudiar para qué valores de \( a \) la matriz \( AB \) tiene inversa, calculándola cuando \( a = 1 \).

Dados el plano \( \pi \equiv 2x + y = 3 \) y la recta \( r \equiv \left\{ \begin{array}{c} x = \lambda \\ y = 1 - 2\lambda \\ z = 1 \end{array} \right. \):

a) [1 punto] Hallar la ecuación del plano perpendicular a \( \pi \), que contenga a \( r \).

b) [1 punto] ¿Existe algún plano paralelo a \( \pi \) que contenga a \( r \)? En caso afirmativo, calcularlo.

a) [1 punto] Encontrar el valor de \( a \in \mathbb{R} \) para que las rectas:

\[ r \equiv \left\{ \begin{array}{c} x + y - 5z = -3 \\ -2x + z = 1 \end{array} \right. \quad \text{y} \quad s \equiv x + 1 = \frac{y - 3}{a} = \frac{z}{2} \]

sean paralelas.

b) [1 punto] Si \( a = 9 \), calcular la ecuación del plano que las contiene.

Sea \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ccc} x e^x & \text{si} & x < 0 \\ a \cdot \sin(x) + b & \text{si} & x \geq 0 \end{array} \right. \). Determinar los valores de \( a \) y \( b \) para que \( f \) sea continua en \( x = 0 \) y derivable en \( x = 0 \).

Dada la función \( f(x) = e^{x^2} \), determinar su dominio de definición, puntos de corte de su gráfica con los ejes, intervalos de crecimiento y decrecimiento y extremos relativos. Esbozar su gráfica.

Calcular:

a) [1 punto] \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x^2) - 1}{\sin^2 x} \).

b) [1 punto] \( \int_0^1 x e^x \, dx \).

Dadas las funciones \( f(x) = x \) y \( g(x) = x^3 \):

a) [0,5 puntos] Comprobar que solo se cortan en \( x = -1 \), \( x = 0 \) y \( x = 1 \).

b) [1,5 puntos] Hallar el área de la parte del plano limitada por las gráficas de dichas funciones.

a) [1 punto] Un mensaje es transmitido con errores con una probabilidad de 0,2. Emitimos de forma independiente 3 mensajes. Calcular la probabilidad de que al menos 2 de los 3 mensajes hayan sido transmitidos con errores.

b) [1 punto] Se consideran los sucesos \( A \) y \( B \), con \( P(A) = \frac{1}{3} \), \( P(B) = \frac{1}{5} \) y \( P(A \cup B) = \frac{1}{2} \). Calcular \( P(A \cap B) \) y \( P(A | B) \).

Las notas que han obtenido 1000 opositores siguen una distribución normal de media 4 y desviación típica \( \frac{100}{51} \). Calcular:

a) [1 punto] ¿Cuántos opositores han obtenido una calificación superior a 5?

b) [1 punto] Sabiendo que los opositores con nota superior a 2 y por debajo de 5 formarán la bolsa de empleo, determinar qué porcentaje de opositores ha quedado en esa situación.

a) [1,2 puntos] Discutir según los valores del parámetro \( \lambda \) el siguiente sistema:

\[ \left\{ \begin{array}{r} \lambda x + y - z = 1 \\ -x + y + 2z = 0 \\ 2y + \lambda z = 1 \end{array} \right. \]

b) [0,8 puntos] Resolverlo para \( \lambda = 1 \).

Dadas las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \), \( B = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \), \( C = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) y \( D = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \), hallar la matriz \( X \) tal que \( AB + CX = D \).

Dados la recta \( r \equiv x = y = z \), el plano \( \pi \equiv x + 2y - 3z = 0 \) y el punto \( P = (1, 1, 1) \), se pide:

a) [1 punto] Determinar la posición relativa de \( r \) y \( \pi \).

b) [1 punto] Hallar la recta perpendicular a \( r \) y contenida en \( \pi \) que pasa por \( P \).

Determinar el plano que pasa por los puntos \( P = (1, 1, 2) \) y \( Q = (3, -1, 1) \) y es paralelo a la recta \( r \equiv x - 1 = y = z \).

Dada la función \( f(x) = e^x + x^3 - 2 \), demostrar que \( f(x) \) se anula para algún valor de \( x \) y que ese valor es único.

Dada la función:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} \frac{\cos x - a}{b x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ 1 & \text{si } x = 0 \end{array} \right. \]

¿Qué valores tienen que tomar los parámetros \( a \in \mathbb{R} \) y \( b \in \mathbb{R} - \{0\} \) para que esta función sea continua en todo \( \mathbb{R} \)?

Calcular los valores de \( a \), \( b \) y \( c \) para los cuales la función \( f(x) = x^3 + a x^2 + b x + c \) tiene extremos relativos en \( x = 0 \) y \( x = 2 \) y además la gráfica de \( f(x) \) corta al eje de abscisas para \( x = 1 \).

a) [1 punto] Dada la función \( f(x) = \frac{\ln x}{x^2 - 3x + 2} \), hallar su dominio de definición y determinar sus asíntotas horizontales y verticales.

b) [1 punto] Calcular \( \int \frac{1}{x^2 - 3x + 2} \, dx \).

Entre los automóviles que se fabrican de una cierta marca, un 50% son convencionales (es decir, con motor de gasolina o de gasoil), un 30% híbridos y un 20% eléctricos. De ellos, un 70% de los convencionales, un 80% de los híbridos y un 85% de los eléctricos tienen potencia \( < 140 \, \text{CV} \) y el resto la tienen \( \geq 140 \, \text{CV} \). Se pide:

a) [1 punto] Calcular la probabilidad de que un coche de esa marca elegido al azar sea convencional con potencia \( \geq 140 \, \text{CV} \). Lo mismo para híbrido o eléctrico con potencia \( \geq 140 \, \text{CV} \).

b) [1 punto] Si se sabe que el coche elegido tiene al menos \( 140 \, \text{CV} \), ¿cuál es la probabilidad de que sea de tipo convencional?

Suponiendo que el tiempo que dura una partida de torneo entre maestros de ajedrez sigue aproximadamente una distribución normal de media 160 minutos y desviación típica 30 minutos, calcular:

a) [1 punto] La probabilidad de que una determinada partida de ajedrez jugada en un torneo de maestros acabe en menos de dos horas.

b) [1 punto] El porcentaje de partidas de torneo entre maestros de ajedrez que duran más de tres horas y 50 minutos.