Sea \( \lambda \) un número real y considérense las matrices \( A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & \lambda \\ 0 & \lambda & -1 \end{pmatrix} \) y \( B = \begin{pmatrix} 1 & \lambda \\ 0 & -1 \\ 1 & -\lambda \end{pmatrix} \). Se pide:

a) [0.5 puntos] Estudiar si existe algún valor de \( \lambda \) para el cual la matriz \( A B \) no tenga inversa.

b) [1 punto] Estudiar el rango de la matriz \( B A \) en función del parámetro \( \lambda \).

c) [1 punto] Para \( \lambda = 1 \), discutir el sistema \( (A^t A) \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 \\ a^2 \\ 2 a \end{pmatrix} \) según los valores de \( a \).

Se tienen garrafas de tres tamaños diferentes para llenar un aljibe. Con seis garrafas pequeñas y \( 2 \, \text{L} \) se llenan exactamente una garrafa mediana y una grande. Con dos garrafas grandes llenamos dos medianas, una pequeña y sobra \( 1 \, \text{L} \). El aljibe se llena al completo bien con catorce garrafas pequeñas más seis medianas, bien con cinco medianas junto con cinco grandes. Se pide calcular la capacidad de cada tipo de garrafa y, una vez conocidas estas, la del aljibe. [2.5 puntos]

Sea la función:

\[ f(x) = \begin{cases} x^2 - 6x + 11 & \text{si } x < 2 \\ \sqrt{5x - 1} & \text{si } x \geq 2 \end{cases} \]

a) [0.5 puntos] Estudie la continuidad de la función en \( \mathbb{R} \).

b) [1 punto] Estudie los extremos relativos de la función en el intervalo \( (1, 3) \).

c) [1 punto] Calcule el área encerrada por la función y el eje OX entre \( x = 1 \) y \( x = 3 \).

Dada la función \( f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right) \), se pide:

a) [0.5 puntos] Estudiar la paridad de la función \( g(x) = f(x f(x)) \).

b) [1 punto] Calcular \( \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{4 + 3 f(x)} - 2}{x} \).

c) [1 punto] Calcular \( \int_0^1 x f(x) \, dx \).

Sean los puntos \( A(0, 0, 0) \) y \( B(1, 1, 1) \), y la recta \( r \equiv (x, y, z) = \langle \lambda, \lambda, \lambda + 1 \rangle, \lambda \in \mathbb{R} \). Se pide:

a) [1 punto] Halle una ecuación del plano respecto del cual los puntos \( A \) y \( B \) son simétricos.

b) [1 punto] Halle una ecuación del plano que contiene a la recta \( r \) y pasa por el punto \( B \).

c) [0.5 puntos] Halle una ecuación de una recta que sea paralela a \( r \) y pase por \( A \).

Dados los tres planos \( \pi_1: -2x - 2y + z = 0 \), \( \pi_2: -2x + y - 2z = 0 \) y \( \pi_3: x - 2y - 2z = 0 \), se pide:

a) [1 punto] Determinar el ángulo que forman los planos dos a dos. Determinar la intersección de los tres planos.

b) [1.5 puntos] Determinar el punto \( P \) en el espacio del que se sabe que su proyección ortogonal sobre \( \pi_1 \) es el punto \( Q_1(1/3, 4/3, 10/3) \) y que su proyección ortogonal sobre \( \pi_2 \) es el punto \( Q_2(-1/3, 8/3, 5/3) \). Determinar la proyección ortogonal \( Q_3 \) del punto \( P \) sobre el plano \( \pi_3 \).

Según los datos de la Comunidad de Madrid, en la temporada 2021-2022 la cobertura de la vacuna de la gripe entre mayores de 65 años fue de un 73.2%. Se pide:

a) [1.5 puntos] Ante una situación de brote epidémico, las autoridades deciden restringir aquellas reuniones en las que la probabilidad de que haya más de una persona no vacunada sea mayor de 0.5. Suponiendo que los asistentes a una reunión suponen una muestra aleatoria, ¿se deberían restringir las reuniones de 5 personas mayores de 65 años? ¿Y las reuniones de 7 personas mayores de 65 años?

b) [1 punto] Se toma una muestra aleatoria de 500 personas mayores de 65 años. Calcule, aproximando por la distribución normal adecuada, la probabilidad de que al menos 350 de ellos estén vacunados contra la gripe.