Andalucía bloque ii: análisis

Exámenes PevAU Matemáticas II - Álgebra

PevAU 2025 Modelo de examen

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Halla dos números mayores o iguales que 0, cuya suma sea 1, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

PevAU 2025 Modelo de examen

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Sabiendo que \( F: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( F(x) = e^{x^2} \) es una primitiva de \( f \):
a) Comprueba que \( f \) es creciente. (1.25 puntos)
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función \( f \), el eje de abscisas y la recta \( x = 1 \). (1.25 puntos)

PevAU 2024 Extraordinaria

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) la función definida por
\( f(x) = a + b \cos(x) + c \sin(x) \)
Halla \( a \), \( b \) y \( c \) sabiendo que su gráfica tiene en el punto de abscisa \( x = \frac{\pi}{2} \) a la recta \( y = 1 \) como recta tangente, y que la recta \( y = x - 1 \) corta a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).

PevAU 2024 Extraordinaria

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Sea la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = \left( x - \frac{1}{2} \right) e^{-x^2} \).
a) [1.5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).
b) [1 punto] Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

PevAU 2024 Extraordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Sean \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) las funciones definidas por \( f(x) = -x^2 + 7 \) y \( g(x) = \left| x^2 - 1 \right| \).
a) [1 punto] Halla los puntos de intersección de las gráficas de \( f \) y \( g \). Realiza un esbozo del recinto acotado y limitado por dichas gráficas.
b) [1.5 puntos] Calcula el área de dicho recinto.

PevAU 2024 Extraordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Halla \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x) \, dx \).

PevAU 2024 Ordinaria

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Sea la función \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \ln(x) \), donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano, y los puntos de su gráfica \( A(1, 0) \) y \( B(e, 1) \).
a) [1.5 puntos] Determina, si existen, los puntos de la gráfica de \( f \) en los que la recta tangente a la gráfica es paralela a la recta que pasa por los puntos \( A \) y \( B \).
b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto \( A \).

PevAU 2024 Ordinaria

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Considera la función continua definida por
\( f(x) = \begin{cases} \frac{x \cos(x) - a \sin(x)}{x^3} & \text{si } x < 0 \\ b \cos(x) - 1 & \text{si } x \geq 0 \end{cases} \)
Calcula \( a \) y \( b \).

PevAU 2024 Ordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera la función definida por \( f(x) = \frac{x^3 + 2}{x^2 - 1} \), para \( x \neq -1, x \neq 1 \). Calcula una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (0, 1) \).

PevAU 2024 Ordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Halla la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) tal que \( f''(x) = x \cos(x) \) y cuya gráfica pasa por los puntos \( \left(0, \frac{\pi}{2}\right) \) y \( (\pi, 2\pi) \).

PevAU 2024 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{a x^3 + b x^2 + x - 1}{x^2 - 1} \), para \( x \neq \pm 1 \). Sabiendo que su gráfica tiene una asintota oblicua que pasa por el punto \( (0, 1) \) y

PevAU 2024 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \arctan(x + \pi) \), donde \( \arctan \) denota la función arcotangente.
a) [1.5 puntos] Calcula los intervalos de concavidad y convexidad de \( f \). Estudia y halla, si existen, los puntos de inflexión de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) [1 punto] Calcula \( \lim_{x \to -\pi} \frac{\arctan(x + \pi)}{\sin(x)} \).

PevAU 2024 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Halla la función \( f: (2, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \) que pasa por el punto \( (3, -4 \ln 5) \) y verifica \( f'(x) = \frac{3x^2 + 4x + 12}{x^2 - 4} \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.

PevAU 2024 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = (x^2 - 3x + 5) e^x \). Halla una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (0, 5) \).

PevAU 2023 Extraordinaria

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Sea la función \( f: [-2, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 5x + 1 & \text{si } -2 \leq x \leq 0 \\ e^x \cos(x) & \text{si } 0 < x \leq 2\pi \end{array} \right. \)
a) [2 puntos] Halla los extremos relativos y absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) [0.5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = \frac{\pi}{2} \).

PevAU 2023 Extraordinaria

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Sea \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = x (\ln(x))^2 \) (\( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).
a) [1.25 puntos] Calcula, si existen, sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) [1.25 puntos] Calcula, si existen, sus extremos absolutos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

PevAU 2023 Extraordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Calcula \( a \) con \( 0 < a < 1 \), tal que \( \int_a^1 \frac{\ln(x)}{x} \, dx + 2 = 0 \) (\( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

PevAU 2023 Extraordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera las funciones \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) y \( g: \mathbb{R} - \{0\} \rightarrow \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = 5 - x^2 \) y \( g(x) = \frac{4}{x^2} \).
a) [1.25 puntos] Esboza las gráficas de las dos funciones y calcula los puntos de corte entre ellas.
b) [1.25 puntos] Calcula la suma de las áreas de los recintos limitados por las gráficas de \( f \) y \( g \).

PevAU 2023 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Sea \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = \frac{\ln(x + 1) + a}{3x + 4} \) (\( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).
a) [1 punto] Determina \( a \) sabiendo que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \) es 1.
b) [1.5 puntos] Para \( a = 0 \), estudia y calcula las asintotas de \( f \).

PevAU 2023 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

En una fábrica de pinturas, las latas que se utilizan para envasar la pintura tienen forma cilíndrica y una capacidad de 20 litros. Halla las dimensiones del cilindro, con tapas, para que la chapa empleada en su construcción sea mínima.

PevAU 2023 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Calcula una primitiva de la función \( f: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \arctan(\sqrt{x}) \) cuya gráfica pase por el punto \( (0, 1) \) (\( \arctan \) denota la función arcotangente). Sugerencia: efectúa el cambio \( x = t^2 \).

PevAU 2023 Extraordinaria (suplente)

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \ln(x + 1) \), donde \( \ln \) denota el logaritmo neperiano. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), el eje de abscisas y la recta \( x = e - 1 \).

PevAU 2023 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Halla dos números mayores o iguales que 0, cuya suma sea 1, y el producto de uno de ellos por la raíz cuadrada del otro sea máximo.

PevAU 2023 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Considera la función \( f(x) = \frac{x^2 + a}{x - b} \), para \( x \neq b \).
a) [1.5 puntos] Calcula \( a \) y \( b \) para que la gráfica de \( f \) pase por el punto \( (1, -2) \) y tenga a la recta \( y = x + 4 \) como asintota oblicua.
b) [1 punto] En el caso \( a = 5 \) y \( b = 4 \), calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) que pasa por el punto de abscisa \( x = 0 \).

PevAU 2023 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Sabiendo que \( F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( F(x) = e^{x^3} \) es una primitiva de \( f \).
a) [1.25 puntos] Comprueba que \( f \) es creciente.
b) [1.25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de la función \( f \), el eje de abscisas y la recta \( x = 1 \).

PevAU 2023 Extraordinaria (reserva)

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: [0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \cos(\sqrt{x}) \). Calcula, si es posible, una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (0, 5) \). Sugerencia: haz el cambio \( t = \sqrt{x} \).

PevAU 2023 Ordinaria

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Considera la función continua \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \frac{1}{e^x + e^{-x}} \).
a) [1.5 puntos] Estudia y halla los máximos y mínimos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) [1 punto] Calcula \( \lim_{x \to \infty} (x^2 f(x)) \).

PevAU 2023 Ordinaria

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Sea la función \( f: [-2, 2] \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^3 - 2x + 5 \).
a) [1.5 puntos] Determina las abscisas de los puntos, si existen, en los que la pendiente de la recta tangente coincide con la pendiente de la recta que pasa por los puntos \( (-2, f(-2)) \) y \( (2, f(2)) \).
b) [1 punto] Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de inflexión.

PevAU 2023 Ordinaria

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x |x - 1| \). Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa \( x = 0 \).

PevAU 2023 Ordinaria

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera la función \( F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( F(x) = \int_0^x \sin(t^2) \, dt \). Calcula \( \lim_{x \to 0} \frac{x F(x)}{\sin(x^2)} \).

PevAU 2023 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

De entre todos los rectángulos de diagonal 10 cm (cada una), calcula las dimensiones del que tiene mayor área.

PevAU 2023 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Considera la función \( f(x) = \frac{1}{x |x|} \), para \( x \neq 0 \).
a) [1 punto] Calcula los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \), así como los puntos de inflexión de su gráfica, si existen.
b) [1.5 puntos] Estudia y calcula las asintotas de la función. Esboza su gráfica.

PevAU 2023 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Determina la función \( f: (0, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \), sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto \( (1, 0) \), \( f'(e) = e \) y \( f''(x) = 2 \ln(x) + 1 \), para todo \( x > 0 \) (\( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

PevAU 2023 Ordinaria (suplente)

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = \left| x^2 - 1 \right| \) y \( g(x) = x + 5 \).
a) [1.25 puntos] Calcula los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que determinan.
b) [1.25 puntos] Determina el área del recinto anterior.

PevAU 2023 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Determina las longitudes de los lados de un rectángulo de área máxima que está inscrito en una semicircunferencia de 6 cm de radio, teniendo uno de sus lados sobre el diámetro de ella.

PevAU 2023 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x) - \ln (1 + x)}{a x^2 - x + e^x - \cos (2 x)} = -\frac{1}{7} \), calcula \( a \) (ln denota la función logaritmo neperiano).

PevAU 2023 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 3 (2.5 puntos)

Calcula \( \int_6^{12} \frac{1}{9 - x^2} \, dx \).

PevAU 2023 Ordinaria (reserva)

Ejercicio 4 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^2 + 1 \).
a) [0,75 puntos] Determina el punto de la gráfica de \( f \) en el que la recta tangente es \( y = 4x - 3 \).
b) [1,75 puntos] Haz un esbozo del recinto limitado por la gráfica de \( f \), la recta \( y = 4x - 3 \) y el eje de ordenadas. Calcula el área del recinto indicado.

PevAU 2022 Extraordinaria

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Calcula \( a \) sabiendo que \( \lim_{x \to +\infty} \frac{a x}{(\ln x)^3 + 2 x} = 1 \) (donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

PevAU 2022 Extraordinaria

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Calcula los vértices y el área del rectángulo de área máxima inscrito en el recinto limitado por la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = -x^2 + 12 \) y el eje de abscisas, y que tiene su base sobre dicho eje.

PevAU 2022 Extraordinaria

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Calcula \( \int_3^8 \frac{1}{\sqrt{1 + x - 1}} \, dx \) (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = \sqrt{1 + x} - 1 \)).

PevAU 2022 Extraordinaria

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = x^3 + 2 \) y \( g(x) = -x^2 + 2 x + 2 \).
a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \). Esboza sus gráficas. (1,25 puntos)
b) Determina el área del recinto limitado por las gráficas de \( f \) y \( g \) en el primer cuadrante. (1,25 puntos)

PevAU 2022 Extraordinaria (suplente)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Sea \( f \) la función continua definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{e^{\lambda x} - e^x - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ \mu & \text{si } x = 0 \end{cases} \)
a) Calcula \( \lambda \) y \( \mu \). (1,25 puntos)
b) Para \( \lambda = 2 \), calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \). (1,25 puntos)

PevAU 2022 Extraordinaria (suplente)

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^4 - 3 x^2 + 2}{(x + 2)^3} \), para \( x \neq -2 \).
a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \). (1,5 puntos)
b) Calcula la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \). (1 punto)

PevAU 2022 Extraordinaria (suplente)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Calcula \( \int \frac{2 x^3 + 2 x^2 - 2 x + 7}{x^2 + x - 2} \, dx \).

PevAU 2022 Extraordinaria (suplente)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = x^2 \) y \( g(x) = a|x| \), con \( a > 0 \). Determina el valor de \( a \) para que el área total de los recintos limitados por las gráficas de ambas funciones sea de 9 unidades cuadradas.

PevAU 2022 Extraordinaria (reserva)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Calcula \( a \) y \( b \) sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{a \operatorname{sen}(x) + x \ln (x + 1) + b x^2}{x^3 + x^2} = 1 \) (donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

PevAU 2022 Extraordinaria (reserva)

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Sea \( f: [0, 2\pi] \to \mathbb{R} \) la función definida por \( f(x) = e^x (\cos (x) + \operatorname{sen}(x)) \).
a) Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (2 puntos)
b) Determina la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = \frac{3\pi}{2} \). (0,5 puntos)

PevAU 2022 Extraordinaria (reserva)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^3 - x \). Calcula el área total de los recintos limitados por la gráfica de la función \( f \) y la recta normal a dicha gráfica en el punto de abscisa \( x = 0 \).

PevAU 2022 Extraordinaria (reserva)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Calcula \( \int_0^3 \frac{x}{\sqrt{1 + x}} \, dx \). (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = \sqrt{1 + x} \)).

PevAU 2022 Ordinaria (reserva)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Sea \( f \) la función continua definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 + 1}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{a x + b}{(x + 1)^2} & \text{si } x > 0 \end{cases} \)
a) Determina \( a \) y \( b \) sabiendo que \( f \) tiene un extremo relativo en el punto de abscisa \( x = 2 \). (1,5 puntos)
b) Para \( a = 2 \) y \( b = -1 \), estudia la derivabilidad de \( f \). (1 punto)

PevAU 2022 Ordinaria (reserva)

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Se quiere cercar un trozo de terreno como el de la figura, de modo que el área del recinto central rectangular sea de \( \frac{200}{\pi} \) metros cuadrados. Sabiendo que el coste de la cerca que se puede poner en los tramos rectos es de 10 euros por metro lineal, y en los tramos circulares de 20 euros por metro lineal, calcula las dimensiones \( a \) y \( b \) del terreno para las que se minimiza el coste del cercado.

Exámenes PevAU Matemáticas II - Álgebra

PevAU 2022 Ordinaria (reserva)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considere la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = e^x \operatorname{sen}(2 x) \). Halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (0, 0) \).

PevAU 2022 Ordinaria (reserva)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = 1 - x^2 \) y \( g(x) = 2 x^2 \).
a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \). Esboza el recinto que delimitan. (1,25 puntos)
b) Determina el área del recinto anterior. (1,25 puntos)

PevAU 2021 Extraordinaria

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Calcula \( a \) y \( b \) sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{a (1 - \cos (x)) + b \operatorname{sen}(x) - 2 (e^x - 1)}{x^2} = 7 \).

PevAU 2021 Extraordinaria

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Halla \( a > 0 \) y \( b > 0 \) sabiendo que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = \frac{b x^2}{1 + a x^4} \) tiene en el punto \( (1, 2) \) un punto crítico.

PevAU 2021 Extraordinaria

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = 1 + \int_0^x t e^t \, dt \). Determina los intervalos de concavidad y convexidad de \( f \) y sus puntos de inflexión (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).

PevAU 2021 Extraordinaria

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} \) (para \( x \neq -1, x \neq 1 \)). Halla una primitiva de \( f \) cuya gráfica pase por el punto \( (2, 4) \).

PevAU 2021 Extraordinaria (suplente)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{x + 1}{\ln (x + 1)} - \frac{a}{x} \right) \) es finito, calcula \( a \) y el valor del límite (ln denota la función logaritmo neperiano).

PevAU 2021 Extraordinaria (suplente)

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{a x^2 + b}{a - x} \) (para \( x \neq a \)).
a) Halla \( a \) y \( b \) sabiendo que la gráfica de \( f \) pasa por el punto \( (2, 3) \) y tiene una asíntota oblicua cuya pendiente vale -4. (1.25 puntos)
b) Para \( a = 2 \) y \( b = 3 \), calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 1 \). (1.25 puntos)

PevAU 2021 Extraordinaria (suplente)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x^2 + |x - 1| \).
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \). (1.25 puntos)
b) Calcula \( \int_0^2 f(x) \, dx \). (1.25 puntos)

PevAU 2021 Extraordinaria (suplente)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: [0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = x e^x \).
a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de \( f \) y las rectas \( x = 2 \), \( y = x \). (1 punto)
b) Determina el área del recinto anterior. (1.5 puntos)

PevAU 2021 Extraordinaria (reserva)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Calcula \( a, b, c \) y \( d \) sabiendo que la gráfica de la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d \) tiene un punto de inflexión en \( (0, 4) \) y su recta normal en el punto \( (1, 8) \) es paralela al eje de ordenadas.

PevAU 2021 Extraordinaria (reserva)

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 - 10}{x^2 + 2 x - 3} \) (para \( x \neq -3, x \neq 1 \)).
a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \). (1.25 puntos)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \). (1.25 puntos)

PevAU 2021 Extraordinaria (reserva)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = e^x \).
a) Calcula \( a \) para que la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto \( (a, f(a)) \) pase por el origen de coordenadas. (1.25 puntos)
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de \( f \), la recta tangente a la misma en el punto \( (1, f(1)) \) y el eje de ordenadas. (1.25 puntos)

PevAU 2021 Extraordinaria (reserva)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Calcula \( \int_1^2 |x^2 - 3 x + 2| \, dx \).

PevAU 2021 Ordinaria

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Se sabe que la gráfica de la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{a x^2 + b x + 2}{x - 1} \) (para \( x \neq 1 \)) tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto \( (1, 1) \) y tiene pendiente 2. Calcula \( a \) y \( b \).

PevAU 2021 Ordinaria

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Considera la función continua \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \begin{cases} (3 x - 6) e^x & \text{si } x \leq 0 \\ \frac{36 (\operatorname{sen}(x) - a x)}{x^3} & \text{si } x > 0 \end{cases} \)
a) Calcula \( a \). (1.5 puntos)
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = -1 \). (1 punto)

PevAU 2021 Ordinaria

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = 4 x^3 - x^4 \).
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \). (1 punto)
b) Esboza la gráfica de \( f \) y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas. (1.5 puntos)

PevAU 2021 Ordinaria

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera la función \( F: [0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( F(x) = \int_0^x (2 t + \sqrt{t}) \, dt \). Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( F \) en el punto de abscisa \( x = 1 \).

PevAU 2021 Ordinaria (suplente)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Sea la función continua \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{\ln (e^x + x^3)}{x} & \text{si } x < 0 \\ 4 x^2 + a & \text{si } 0 \leq x < 1 \\ b + \operatorname{sen}(\pi x) & \text{si } 1 \leq x \end{cases} \) (ln denota la función logaritmo neperiano). Determina \( a \) y \( b \).

PevAU 2021 Ordinaria (suplente)

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Sea \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \frac{e^{2 x} - 1}{e^{2 x} + 1} \).
a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \). (1.25 puntos)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \). (1.25 puntos)

PevAU 2021 Ordinaria (suplente)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Calcula \( \int_0^{\pi / 2} (2 \operatorname{sen}^2(x) - \cos^2(x)) \, dx \).

PevAU 2021 Ordinaria (suplente)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = |x| - 2 \) y por \( g(x) = 4 - x^2 \).
a) Halla los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones y esboza el recinto que delimitan. (1 punto)
b) Determina el área del recinto anterior. (1.5 puntos)

PevAU 2021 Ordinaria (reserva)

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Sea la función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \begin{cases} \frac{a x + b}{x - 1} & \text{si } x \leq 0 \\ \ln (1 + x) & \text{si } x > 0 \end{cases} \) (ln denota la función logaritmo neperiano).
a) Determina \( a \) y \( b \). (1.5 puntos)
b) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \). (1 punto)

PevAU 2021 Ordinaria (reserva)

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Halla \( a, b \) y \( c \) sabiendo que la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = a + b \operatorname{sen}(x) + c \operatorname{sen}(2 x) \) tiene un punto crítico en el punto de abscisa \( x = \pi \) y la recta \( y = -\frac{1}{2} x + 3 \) es normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).

PevAU 2021 Ordinaria (reserva)

EJERCICIO 3 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: (0, +\infty) \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = (\ln (x))^2 \) (ln denota la función logaritmo neperiano).
a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \), así como sus extremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1 punto)
b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función \( f \) y las rectas \( y = 0 \), \( x = 1 \), \( x = e \). (1.5 puntos)

PevAU 2021 Ordinaria (reserva)

EJERCICIO 4 (2.5 puntos)

Calcula \( \int_0^2 \frac{1}{1 + \sqrt{e^x}} \, dx \) (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = \sqrt{e^x} \)).

PevAU 2020 Extraordinaria

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Considera la función \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = e^x (x^2 - 5 x + 6) \). Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de \( f \) y los puntos de inflexión de su gráfica.

PevAU 2020 Extraordinaria

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Calcula \( \int_0^\pi x \operatorname{sen}^2(x) \, dx \).

PevAU 2020 Extraordinaria

EJERCICIO 5 (2.5 puntos)

Sea la función derivable \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \begin{cases} e^{2 a x - 4 b} & \text{si } x < 1 \\ 1 - x \ln x & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \) (ln denota la función logaritmo neperiano)
a) Determina los valores de \( a \) y \( b \). (1.75 puntos)
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 2 \). (0.75 puntos)

PevAU 2020 Extraordinaria

EJERCICIO 6 (2.5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = |x| \) y \( g(x) = x^2 - 2 \).
a) Calcula los puntos de corte de las gráficas de \( f \) y \( g \). Esboza el recinto que determinan. (1 punto)
b) Determina el área del recinto anterior. (1.5 puntos)

PevAU 2020 Ordinaria

EJERCICIO 1 (2.5 puntos)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2 - 2 x - 3}{x^2 - 1} \) para \( x \neq 1, -1 \).
a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de \( f \). (1.25 puntos)
b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \). (1.25 puntos)

PevAU 2020 Ordinaria

EJERCICIO 2 (2.5 puntos)

Calcula \( a > 0 \) sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de la función \( f(x) = x e^{3 x} \), el eje de abscisas y la recta \( x = a \) vale \( \frac{1}{9} \).

PevAU 2020 Ordinaria

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Sea \( f: [0, 2\pi] \rightarrow \mathbb{R} \) definida por \( f(x) = \frac{\sin x}{2 - \cos x} \).
a) [2 puntos] Halla los extremos absolutos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
b) [0.5 puntos] Determina la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = \frac{\pi}{3} \).

PevAU 2020 Ordinaria

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Sea \( f \) la función dada por \( f(x) = \frac{3x^2 + 4}{(x - 2)^2} \) para \( x \neq 2 \).
a) [2 puntos] Calcula \( \int f(x) \, dx \).
b) [0.5 puntos] Calcula la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (3, 5) \).

PevAU 2020 Modelo 1

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Calcula \( a \) sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{\ln(1 - x)} - \frac{a x - 1}{x} \right) = \frac{7}{2} \) (\( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

PevAU 2020 Modelo 1

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{-x^3 + 2x - 3}{x^2 - x} \) para \( x \neq 0, x \neq 1 \). Halla la primitiva de \( f \) cuya gráfica pasa por el punto \( (2, 3 \ln 2) \), donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano.

PevAU 2020 Modelo 1

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Una familia desea acotar una zona rectangular en el jardín de su casa para dedicarla al cultivo ecológico. Para ello dispone de 96 metros de valla, pero necesita dejar una abertura de 4 metros en uno de los laterales para instalar una puerta. Determina las dimensiones de la zona rectangular de área máxima que puede acotarse de esta manera y el valor de dicha área.

PevAU 2020 Modelo 1

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Calcula \( \int \ln(x^2 + 2x + 2) \, dx \) donde \( \ln \) denota la función logaritmo neperiano. (Sugerencia: efectúa el cambio de variable \( t = x + 1 \)).

PevAU 2020 Modelo 2

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Sabiendo que \( \lim_{x \to 0} \frac{x e^x - \ln(1 + x) - (a + 1) x}{x^2} \) es finito, calcula \( a \) y el valor del límite (\( \ln \) denota la función logaritmo neperiano).

PevAU 2020 Modelo 2

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Determina la función \( f: (-1, +\infty) \rightarrow \mathbb{R} \), sabiendo que es dos veces derivable, su gráfica pasa por el punto \( (0, 1) \), \( f'(0) = 0 \) y \( f''(x) = \frac{1}{x + 1} \).

PevAU 2020 Modelo 2

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Sea \( f \) la función definida por \( f(x) = \frac{|x|}{2 - x} \) para \( x \neq 2 \).
a) [1.25 puntos] Estudia la derivabilidad de \( f \).
b) [1.25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

PevAU 2020 Modelo 2

Ejercicio 6 (2.5 puntos)

Considera las funciones \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) definidas por \( f(x) = -4x + 2 \) y \( g(x) = -x^2 + 2x + c \).
a) [1 punto] Halla el valor de \( c \) sabiendo que sus gráficas se cortan en el punto en el que \( g \) alcanza su máximo.
b) [1.5 puntos] Para \( c = -3 \), calcula el área de la región limitada por ambas gráficas.

PevAU 2020 Modelo 3

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 1} \) para \( x \neq 1, -1 \).
a) [1.25 puntos] Estudia y halla las asintotas de la gráfica de \( f \).
b) [1.25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de \( f \).

PevAU 2020 Modelo 3

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Determina la única función derivable \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) que cumple que \( f(0) = 1 \), \( f'(0) = 1 \) y \( f''(x) = e^x (x + 2) \).

PevAU 2020 Modelo 3

Ejercicio 5 (2.5 puntos)

Se sabe que la función \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) dada por \( f(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d \) tiene un punto crítico en \( x = 0 \), que su gráfica pasa por \( (0, 3) \) y que la recta \( y = -2 x + 2 \) es tangente a dicha gráfica en el punto de abscisa \( x = 1 \). Calcula \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \).

Ejercicio 1 (2.5 puntos)

Considera la función \( f \) definida por \( f(x) = \frac{x^2}{x - 1} \) para \( x \neq 1 \).
a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de \( f \). (1 punto)
b) Estudia y determina los intervalos de crecimiento y los intervalos de decrecimiento de \( f \). Calcula los extremos relativos de \( f \) (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan). (1.5 puntos)

Exámenes PevAU Matemáticas II - Álgebra

PevAU 2017 Ordinaria

Ejercicio 2 (2.5 puntos)

Calcula \( \int_1^{16} \frac{dx}{\sqrt{x + \sqrt[4]{x}}} \) (sugerencia: \( t = \sqrt[4]{x} \)).