Una finca agrícola cultiva tres tipos de plantas que producen: tomates, pimientos y calabacines. Estas plantas son susceptibles de sufrir una plaga que puede afectar su rendimiento. La finca utiliza tres métodos de control de plagas: control biológico, pesticidas químicos y métodos orgánicos. La efectividad de cada método varía según el tipo de planta.

- El \( 50\% \) del área está dedicada a tomates, el \( 30\% \) a pimientos y el \( 20\% \) a calabacines.

- Para los tomates, la finca utiliza control biológico en el \( 40\% \) de la finca, pesticidas químicos en el \( 30\% \) y métodos orgánicos en el \( 30\% \).

- Para los pimientos, la finca utiliza control biológico en el \( 30\% \), pesticidas químicos en el \( 40\% \) y métodos orgánicos en el \( 30\% \).

- Para los calabacines, se utiliza control biológico en el \( 20\% \), pesticidas químicos en el \( 50\% \) y métodos orgánicos en el \( 30\% \).

La efectividad de cada método de control para evitar la plaga, en porcentaje, es la siguiente:

- Para los tomates:

• El control biológico tiene un \( 85\% \) de efectividad.
• Los pesticidas químicos tienen un \( 95\% \) de efectividad.
• Los métodos orgánicos tienen un \( 80\% \) de efectividad.

- Para los pimientos:

• El control biológico tiene un \( 80\% \) de efectividad.
• Los pesticidas químicos tienen un \( 90\% \) de efectividad.
• Los métodos orgánicos tienen un \( 75\% \) de efectividad.

- Para los calabacines:

• El control biológico tiene un \( 70\% \) de efectividad.
• Los pesticidas químicos tienen un \( 85\% \) de efectividad.
• Los métodos orgánicos tienen un \( 65\% \) de efectividad.

Responda a todos los apartados:

a) [0.75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que una planta seleccionada al azar en toda la finca esté libre de plagas (sin importar qué tipo de planta ni el método utilizado)?

b) [0.75 puntos] Si se sabe que una planta seleccionada está libre de plagas, ¿cuál es la probabilidad de que esa planta sea un pimiento?

c) [1 punto] Un consumidor compra 11 tomates que han sido controlados mediante métodos orgánicos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 de ellos hayan evitado los efectos de la plaga?

Responda al apartado 2.1 o al apartado 2.2.

2.1 Responda a todos los subapartados siguientes:

Sea el sistema de ecuaciones lineales:

\[ \left\{ \begin{array}{c} x - y + a z = -2 \\ -x + 2 y - a z = 3 \\ a x + y + z = 2 \end{array} \right. \]

donde \( a \) es un parámetro real. Se pide:

a) [1.25 puntos] Discutid el sistema en función del parámetro \( a \).

b) [1.25 puntos] Calcular las soluciones del sistema cuando éste sea compatible.

2.2 Responda a todos los subapartados siguientes:

Se dan las matrices \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) y \( U = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).

Obtener (con los cálculos intermedios necesarios, así como con la mención explícita de los teoremas o propiedades utilizados):

a) [1.25 puntos] Las matrices \( A^{-1} \) y \( B = A^3 - 3 A^2 + 5 A \).

b) [1.25 puntos] Los valores \( \alpha \) y \( \beta \) tales que \( \alpha A^2 + \beta A + U = A^{-1} \).

Responda al apartado 3.1 o al apartado 3.2.

3.1 Responda a todos los subapartados siguientes:

Dadas las rectas \( r: \left\{ \begin{array}{l} y - z = 0 \\ 2 x + 2 = 0 \end{array} \right. \) y \( s: \frac{x - 2}{-1} = \frac{y}{3} = z + 2 \), obtener:

a) [1.25 puntos] La ecuación del plano \( \pi \) paralelo a ambas y que pase por el origen.

b) [1.25 puntos] La distancia de un punto de \( r \) y de un punto de \( s \) al plano \( \pi \).

3.2 Responda a todos los subapartados siguientes:

Dadas la recta \( r \) y el plano \( \pi \), de ecuaciones \( r: \frac{x - 5}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z}{4} \) y \( \pi: a x + y - z = b \), con \( a \) y \( b \) parámetros reales, obtener:

a) [1 punto] Los valores del parámetro \( a \) para los que \( r \) y \( \pi \) se cortan en un único punto y calcular las coordenadas de dicho punto en función del parámetro \( a \).

b) [1.5 puntos] Los valores de \( a \) y \( b \) tales que la recta \( r \) esté contenida en el plano \( \pi \) y los valores de los parámetros para que la recta \( r \) no corte al plano \( \pi \).

Responda al apartado 4.1 o al apartado 4.2.

4.1 Responda a todos los subapartados siguientes:

Se dan las funciones polinómicas \( f(x) = -x^2 + x + 2 \) y \( g(x) = x^2 - b \), siendo \( b \) un parámetro real. Obtener:

a) [1.25 puntos] El valor de \( b \) para que uno de los puntos de intersección de las curvas \( y = -x^2 + x + 2 \) e \( y = x^2 - b \) sea el punto \( P = (-1, 0) \). Un esquema de las curvas \( y = -x^2 + x + 2 \) e \( y = x^2 - 1 \).

b) [1.25 puntos] El área de la superficie finita encerrada entre las curvas \( y = -x^2 + x + 2 \) e \( y = x^2 - 1 \).

4.2 Responda a todos los subapartados siguientes:

Una ventana Norman está formada por un rectángulo y un semicírculo. El semicírculo está apoyado sobre el lado horizontal superior del rectángulo, que coincide con el diámetro horizontal del semicírculo. La base del rectángulo mide \( x \) y su altura mide \( y \), por lo que el diámetro del semicírculo mide \( x \).

Obtener:

a) [1 punto] La expresión \( S(x) \) que da el área de una ventana Norman de perímetro 5 metros en función de su anchura \( x \).

b) [1.5 puntos] El valor de \( x \) para el que la función \( S(x) \) tenga un máximo relativo y el valor de dicha área máxima.