Ejercicio 1

Dos compañías de taxi, A y B, ofrecen tarifas diferentes. La compañía A ofrece un coste fijo de 20 € más 0,4 € por kilómetro recorrido, mientras que el precio de la compañía B sigue la función \( g(x) = 0,01 x^2 + 0,1 x + 10 \), donde \( x \) representa el número de kilómetros recorridos.

a) ¿Cuál de las dos compañías ofrece la tarifa más económica si hacemos un recorrido de 10 km? ¿Y si hacemos uno de 80 km? Calcule la diferencia de precio en cada caso. ¿Hay algún coste fijo en la tarifa de la compañía B solo por el hecho de subir al taxi? [1 punto]

b) Determine para qué número de kilómetros recorridos las dos tarifas coinciden. Si consideramos solo los trayectos inferiores a 50 km, ¿por debajo de qué número de kilómetros la diferencia de precio entre una tarifa y la otra es máxima? ¿Cuál es esa diferencia máxima de precio? [1,5 puntos]

Ejercicio 2

Una empresa de muebles dispone de tres fábricas que producen un modelo de sofá determinado. El mes pasado se fabricaron un total de 1.260 unidades de este modelo, y sabemos que la segunda fábrica produjo tantos sofás como las otras dos juntas.

a) Con esta información, ¿podemos determinar cuántos sofás produjo cada una de las fábricas? Justifique la respuesta. A continuación, calcule, solo con esta información, cuántos sofás produjo la segunda fábrica. [1,25 puntos]

b) También sabemos que un 10% de los sofás producidos por la primera fábrica, un 30% de los producidos por la segunda y un 20% de los producidos por la tercera eran de color gris, y que en total se fabricaron 284 sofás de este color. Encuentre cuántos sofás produjo cada fábrica el mes pasado. [1,25 puntos]

Ejercicio 3

Queremos saber el porcentaje de personas que estarían a favor de la construcción de un polideportivo municipal en una población determinada. Tomamos una muestra aleatoria de 350 personas, 218 de las cuales se manifiestan a favor de la propuesta y el resto, en contra.

a) Escriba un intervalo de confianza del 95% para el porcentaje de personas que están a favor de la construcción del polideportivo en esta población. Nota: Recuerde que, si \( Z \) sigue una distribución normal \( (0,1) \), \( P(-1,96 \leq Z \leq 1,96) = 0,95 \). Recuerde también que, para muestras grandes, el intervalo de confianza para una proporción con un nivel de confianza \( \gamma \in (0,1) \) está dado por \( \left[\hat{p} - z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}, \hat{p} + z_\gamma \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right] \) [1,25 puntos]

b) Junto a esta población hay dos pueblos pequeños, que llamaremos A y B, que también podrían beneficiarse del polideportivo. El pueblo A tiene en total 250 habitantes, de los cuales 180 están a favor de la construcción y el resto en contra. El pueblo B tiene 175 habitantes, de los cuales 90 están a favor y el resto en contra. Elegimos un individuo al azar de entre todos los individuos de estos dos pueblos. ¿Cuál es la probabilidad de que esté a favor de la construcción del polideportivo? Si sabemos que este individuo está a favor de la construcción del polideportivo, ¿cuál es la probabilidad de que sea del pueblo A? [1,25 puntos]

Ejercicio 4

Una agricultora contrata una empresa de conductores para que le lleven los tractores hasta los pueblos donde tienen que trabajar. Supongamos que los conductores hacen todo el trayecto a una velocidad constante. Elija una opción (opción A u opción B) y responda las preguntas de la opción elegida:

OPCIÓN A

a) Supongamos que un pueblo, al que se debe llevar un tractor, está a 300 km de distancia. Sabemos que el gasoil que usa el tractor cuesta 1,96 € por litro y que el conductor cobra 14,70 € por hora. Sabemos también que el consumo de gasoil (en litros por hora), en función de la velocidad \( x \) (en kilómetros por hora), está dado por la función \( G(x) = 5 + \frac{x^2}{98} \). Compruebe que la función que da el coste total del viaje en función de la velocidad del tractor se puede expresar como \( C(x) = 300 \left( \frac{24,5}{x} + 0,02 x \right) \). [1,25 puntos]

b) Supongamos que la agricultora debe enviar tractores a poblaciones que están a 100, 200 y 300 km de distancia. Estos tractores pueden hacer el trayecto a 35, 25 o 15 km/h. Construya una matriz que contenga el coste total del viaje según la distancia a la que se encuentra el pueblo (columnas) y según la velocidad a la que circula el tractor (filas). Si en total debe llevar 3 tractores a una localidad que está a 100 km, 3 tractores a una localidad que está a 200 km y 2 tractores a una localidad que está a 300 km, calcule, mediante un producto de matrices, cuánto le costará todo según si los tractores circulan a 35, 25 o 15 km/h. [1,25 puntos]

OPCIÓN B

a) Si sabemos que la función que da el coste total del viaje en función de la velocidad del tractor se puede expresar como \( C(x) = \frac{7.350}{x} + 6 x \). Calcule cuál es la velocidad que hace que el coste total del viaje sea mínimo. ¿Cuál es ese coste? [1,25 puntos]

b) Supongamos que durante el trayecto hay en total tres áreas de servicio y, en cada una de ellas, el conductor decide si se para a descansar un poco con una probabilidad de 1/3, independientemente de si se ha parado o no en las otras áreas. Calcule cuál es la probabilidad de que no se pare ninguna vez. ¿Cuál es la probabilidad de que se pare exactamente dos veces? [1,25 puntos]