[2,5 puntos] Discute la existencia de solución del siguiente sistema en función de los valores del parámetro \( \alpha \):

\[ \begin{cases} \alpha x + y + z = 2, \\ x + 2y + (\alpha - 1)z = -1, \\ 2x + y + (\alpha - 2)z = 1. \end{cases} \]

(2 puntos) Discute la existencia de solución. (0,5 puntos) Resuelve el sistema, si es posible, en el caso \( \alpha = 1 \).

[2,5 puntos] Se sabe que

\[ \left| \begin{array}{lll} a & b & c \\ p & q & r \\ x & y & z \end{array} \right| = 2. \]

Calcula, explicando las propiedades aplicadas:

(a) [1,5 puntos] \( \left| \begin{array}{ccc} 3a & 3b & 3c \\ a - p & b - q & c - r \\ 2x - a & 2y - b & 2z - c \end{array} \right| \)

(b) [1 punto] \( \left| \begin{array}{lll} a & x & 2p \\ b & y & 2q \\ c & z & 2r \end{array} \right| \).

[2,5 puntos] Se consideran las siguientes rectas:

\[ r = \begin{cases} x = 2\lambda, \\ y = -1 + 4\lambda, \\ z = 2 - \lambda; \end{cases} \quad s = \begin{cases} 2x - y = 1, \\ z = 3. \end{cases} \]

(a) [1 punto] Calcula la posición relativa de las rectas \( r \) y \( s \).

(b) [0,75 puntos] Calcula la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.

(c) [0,75 puntos] Dado el punto \( P(-8, -8, 0) \), calcula el punto \( Q \) de la recta \( r \) de modo que el vector \( \overrightarrow{PQ} \) sea perpendicular a la recta \( r \).

[2,5 puntos] Dados los puntos \( P_1(1, 4, 5) \), \( P_2(1, 2, -1) \), \( P_3(0, -2, 3) \) y \( P_4(-2, 0, 1) \), calcula:

(a) [1 punto] la ecuación del plano \( \pi \) que contiene a los puntos \( P_2 \), \( P_3 \) y \( P_4 \).

(b) [1,5 puntos] el punto simétrico de \( P_1 \) respecto del plano \( \pi \).

[2,5 puntos] Sea \( f(x) = \frac{x}{x^2 - 2x + 1} \).

(a) [0,5 puntos] Encuentra las asíntotas de \( f \).

(b) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de \( f \).

(c) [0,5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de \( f \) en el punto de abscisa \( x = 0 \).

(d) [0,5 puntos] Haz una representación aproximada de la gráfica de la función \( f \).

[2,5 puntos] Se sabe que la función \( f(x) = A x^4 + B x^2 + C \) tiene un extremo relativo cuando \( x = 1/2 \) y la ecuación de la recta tangente a su gráfica en el punto de abscisa \( x = 1 \) es \( y = 6x - 2 \).

(a) [1,5 puntos] Encuentra los valores de los parámetros \( A \), \( B \) y \( C \).

(b) [1 punto] Encuentra todos los extremos relativos de la función \( f \) y razona si son máximos o mínimos.

[2,5 puntos] Calcula las dos integrales siguientes:

(a) [1,25 puntos] \( \int \frac{2 - 3x + x^3}{x^2 + 2x + 1} \, dx \),

(b) [1,25 puntos] \( \int \frac{2 - 3x}{x^2 + 2x + 1} \, dx \).

[2,5 puntos] Se consideran las curvas de ecuaciones \( y = x^2 \) e \( y = \frac{x^2}{3} \) y la recta de ecuación \( y = x \).

(a) [1,25 puntos] Dibuja el recinto del primer cuadrante limitado por esas tres curvas.

(b) [1,25 puntos] Calcula el área de ese recinto.

[2,5 puntos] Tenemos dos urnas con bolas de colores. La urna A contiene 3 bolas verdes, 5 bolas rojas y 4 bolas azules. La urna B contiene 2 bolas verdes, 2 bolas rojas y 3 bolas azules. Se saca, al azar, una bola de la urna A y se mete en la urna B. Posteriormente se saca una bola de la urna B.

(a) [0,5 puntos] Realiza el correspondiente diagrama de árbol.

(b) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde.

(c) [0,5 puntos] Calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna B sea verde sabiendo que la bola extraída de la urna A ha sido roja.

(d) [0,75 puntos] Sabiendo que la bola extraída de la urna B es verde, calcula la probabilidad de que la bola extraída de la urna A haya sido roja.

[2,5 puntos] Tras la realización de un estudio, se ha llegado a la conclusión de que el tiempo medio que un adulto aguanta bajo el agua sin respirar es de 45 segundos, con una desviación típica de 7,3 segundos, ajustándose los datos a una distribución normal.

(a) [1 punto] Calcula el porcentaje de adultos que aguanta más de 57 segundos.

(b) [1,5 puntos] Calcula el porcentaje de adultos que aguanta entre 39 y 57 segundos.