Problema 1.

Consideremos las matrices:

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \quad \text{y} \quad B = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \end{array} \right). \]

Se pide:

a) Hallar la inversa de la matriz \( A \). (2 puntos)

b) Hallar la matriz \( X \) que satisface la ecuación \( A X = B \). (2 puntos)

c) Hallar la matriz \( Y \) que satisface la ecuación \( Y^T A = B \), donde \( Y^T \) representa la matriz traspuesta de \( Y \). (3 puntos)

d) Hallar la matriz \( Z \) que satisface la ecuación \( A Z A = B \). (3 puntos)

Problema 2.

Una empresa de alquiler de coches dispone de tres modelos de coche para alquilar. El más barato se alquila por 15 euros al día; el modelo intermedio, por 25; y el más caro, por 40. La flota consta de un total de 100 coches. Sabemos que si un día la empresa alquila todos sus coches sus ingresos serán de 2225 euros. Sabemos también que un día que la empresa alquiló la mitad de los coches más baratos, la quinta parte de los intermedios y solo uno de los más caros sus ingresos fueron de 590 euros. ¿Cuántos coches de cada modelo tiene la empresa? (Planteamiento correcto 5 puntos --- Resolución correcta 5 puntos)

Problema 3.

Se considera la función \( f(x) = \frac{4 x^2 + 11 x - 20}{(x - 2)^2} \). Se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)

b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)

d) Los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)

e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

Problema 4.

Se considera la función:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} x^2 - 2 x + 3, & \text{si } 0 \leq x \leq 3, \\ -x^2 + 10 x - 15, & \text{si } 3 < x \leq 6, \\ x + 4, & \text{si } 6 < x \leq 10. \end{array} \right. \]

Se pide:

a) Estudiar la continuidad de la función \( f(x) \) en el intervalo \( [0, 10] \). (3 puntos)

b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de \( f(x) \) en el intervalo \( [0, 10] \). (3 puntos)

c) Calcular el área de la región delimitada por la función \( f(x) \), la recta de ecuación \( x = 4 \), la recta de ecuación \( x = 6 \) y el eje \( OX \). (4 puntos)

Problema 5.

Una urna contiene tres bolas rojas y dos negras, que se van extrayendo de una en una, sin reposición. Calcula:

a) La probabilidad de que las dos primeras bolas extraídas sean del mismo color. (3 puntos)

b) La probabilidad de que las dos primeras bolas extraídas sean negras, sabiendo que la tercera es roja. (4 puntos)

c) La probabilidad de que al extraer las cinco bolas cada una sea de color distinto a la extraída anteriormente. (3 puntos)

Problema 6.

La colibacilosis es una enfermedad que afecta a los loros. En un centro veterinario, se estima en un 40% la proporción de loros portadores de la enfermedad. Se realiza un test diagnóstico de la enfermedad entre los loros del centro veterinario. Cuando un loro es portador de la enfermedad, el test da positivo en el 90% de los casos. Si el loro no es portador de la enfermedad, el test da negativo en el 85% de los casos. Se escoge un loro al azar del centro veterinario. Calcula:

a) La probabilidad de que el loro sea portador de la enfermedad y su test dé positivo. (3 puntos)

b) La probabilidad de que el test dé positivo. (3 puntos)

c) La probabilidad de que el loro sea portador de la enfermedad, si sabemos que ha dado negativo en el test. (4 puntos)

Problema 1.

Una tienda de televisores ha obtenido 247250 euros por la venta de 220 televisores de sus modelos ULED, QLED y LD. Un televisor del modelo ULED cuesta 1250 euros y los otros dos modelos son un 10% y un 20% más baratos que el modelo ULED, respectivamente. Sabemos que la suma de la cantidad de televisores QLED y de televisores LD vendidos es igual al triple de los televisores ULED vendidos. Halla el número de televisores de cada modelo que se han vendido.

(Planteamiento correcto, 5 puntos - Resolución correcta 5 puntos)

Problema 2.

Consideremos las matrices:

\[ A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \quad \text{y} \quad B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

Se pide:

a) Hallar la matriz \( X \) que satisface la ecuación \( X^{-1} A + A = B \). (4 puntos)

b) Hallar la matriz \( Y \) que satisface la ecuación \( (A - B) Y - A Y = I \), donde \( I \) representa a la matriz identidad de orden 3. (4 puntos)

c) Hallar la matriz \( Z \) que satisface la ecuación \( A Z A^{-1} = I \). (2 puntos)

Problema 3.

Se considera la función \( f(x) = \frac{x^2 - 3 x}{x(x - 3) + (x + 1)} \). Se pide:

a) Su dominio y puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)

b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)

d) Los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)

e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

Problema 4.

Se considera la función:

\[ f(x) = \left\{ \begin{array}{cl} x^3 + a x^2 + 24 x & \text{si } x \leq -1, \\ (x - 1)^2 + 3 & \text{si } x > -1. \end{array} \right. \]

siendo \( a \) un número real.

Se pide:

a) Determina el valor de \( a \) para que esta función sea continua. (2 puntos)

b) Supongamos que \( a = 9 \). Determina los máximos y mínimos locales que tiene esta función en el intervalo \( ]-9/2, -3/2[ \). (4 puntos)

c) Supongamos que \( a = 0 \). Calcula el área de la región delimitada por esta función, la recta de ecuación \( x = 2 \), la recta de ecuación \( x = 3 \) y el eje \( OX \). (4 puntos)

Problema 5.

Un 30% de los directivos de una empresa sabe inglés y alemán. En dicha empresa, el 40% de los directivos sabe inglés. Además, de los directivos que saben alemán, el 40% sabe también inglés. Seleccionamos un directivo al azar.

a) ¿Qué probabilidad hay de que el directivo sepa alemán? (3 puntos)

b) ¿Qué probabilidad hay de que el directivo sepa alemán y no inglés? (3 puntos)

c) Si el directivo no sabe alemán, ¿cuál es la probabilidad de que sepa inglés? (4 puntos)

Problema 6.

Lanzamos un dado de 6 caras bien equilibrado. Si al lanzar el dado obtenemos un número mayor que 2, entonces lanzamos dos veces una moneda bien construida; pero si al lanzar el dado obtenemos un número menor o igual que 2, entonces lanzamos dos veces una moneda defectuosa en la que la probabilidad de obtener cara es tres veces mayor que la de obtener cruz.

a) Si sabemos que en los dos lanzamientos de la moneda hemos obtenido dos caras, ¿cuál es la probabilidad de que hayamos obtenido un número mayor que 2 al lanzar el dado? (3 puntos)

b) Calcula la probabilidad de la unión de los sucesos "obtener un número menor o igual que 2 al lanzar el dado" y "obtener al menos una cara en los dos lanzamientos de la moneda". (4 puntos)

c) ¿Son independientes los sucesos "obtener un 6 al lanzar el dado" y "obtener dos cruces en los dos lanzamientos de la moneda"? (3 puntos)